云南省昆明市五华区2023届高三上学期数学8月教学质量摸底检测试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知 $z = \frac{1}{1 - i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} = - \frac{n}{8} + \frac{9}{8}$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、 $\frac{25}{2}$ B、 $\frac{23}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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4. 已知 $α$ ， $β$ 都是锐角， $s i n α = \frac{1}{3}$ ， $c o s β = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $c o s (α + β) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$

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5. 小明暑假来到云南旅游，从云腿、三七、普洱茶、鲜花饼、油鸡枞、小粒咖啡这六种云南特产中任意购买两种，则小明购买了油鸡枞的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ， $g (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，若 $h (x)$ 的图象如图所示，则 $h (x)$ 可能是（）

A、 $h (x) = \frac{1}{f (x)}$ B、 $h (x) = \frac{1}{g (x)}$ C、 $h (x) = \frac{g (x)}{f (x)}$ D、 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 是偶函数，且在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上恰有6个零点，则 $ω$ 的最大整数值为（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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8. 已知 $a = \frac{2}{3} + l n \frac{3}{2}$ ， $b = 1 + \frac{1}{e}$ ， $c = \frac{1}{2} + l n 2$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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二、多选题

9. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E是线段AC上的动点，则（）

A、 $E B_{1} / / D A_{1}$ B、 $E B_{1} / /$ 平面 $D A_{1} C_{1}$ C、 $E B_{1} ⊥ B D_{1}$ D、 $E B_{1} ⊥ D C_{1}$

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10. 某运动队共有8名运动员，教练为直观了解运动员的训练效果，统计了近几个月测试成绩的平均分和标准差，得到如下统计图，则（）

A、1号和2号运动员比较，1号竞技水平较高，且2号成绩较稳定 B、3号和4号运动员比较，3号竞技水平较高，且4号成绩较稳定 C、5号和6号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且6号成绩波动较大 D、7号和8号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且8号成绩波动较大

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11. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上、下顶点分别为 $B_{2}$ ， $B_{1}$ ， $B_{1} F_{1}$ 与C的另一交点为M， $B_{2} F_{1}$ 与C的另一交点为N，若直线 $B_{1} M$ 与直线 $B_{2} M$ 的斜率之积为 $- \frac{9}{25}$ ，则（）

A、C的离心率为 $\frac{4}{5}$ B、 $c o s ∠ M F_{1} N = \frac{7}{25}$ C、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的周长为18 D、设 $△ M N F_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B_{1} F_{1} F_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S_{2}}} = \frac{9}{41}$

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12. 已知函数，设 $g (x) = f (x) - \frac{k}{x}$ ，则（）

A、 $g (x)$ 至少有一个零点 B、若 $g (x)$ 恰有一个零点，则 $k \geq 0$ C、若 $g (x)$ 恰有两个零点，则 $k = - \frac{1}{e}$ D、若 $g (x)$ 恰有三个零点，则 $- \frac{1}{e} < k < 0$

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三、填空题

13. 为了解某种作物的生长情况，抽取该作物植株高度（单位：cm）的一个随机样本，整理得到样本频率分布直方图如图所示.由此样本估计，该作物植株高度的80%分位数约为cm.

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14. 已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为O， $\vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{A C} |$ ，若向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 方向上的投影向量为 $λ \vec{B C}$ ，则 $λ =$ .

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15. “云南十八怪”描述的是由云南独特的地理位置、民风民俗所产生的一些特有的现象或生活方式，是云南多元民族文化的写照.“云南十八怪”中有一怪“摘下草帽当锅盖”所指的锅盖是用秸秆或山茅草编织成的，因其形状酷似草帽而传为佳话.一种草帽锅盖呈圆锥形，其母线长为6dm，侧面积为 $18 \sqrt{3} π d m^{2}$ ，若此圆锥的顶点和底面圆都在同一个球面上，则该球体的表面积等于 $d m^{2}$ .

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与C的右支交于A，B两点，若 $∠ F_{1} A F_{2} = ∠ A F_{2} F_{1}$ ， $| F_{2} B | = 2 | F_{2} A |$ ，则C的离心率为.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\sqrt{3} a s i n B - b c o s A = 0$ .

(1)、求A；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ， $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 为 $B C$ 中点.

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A E C_{1}$ ；

(2)、若此三棱柱的体积为1， $A B = C C_{1} = 1$ ， $A_{1} B ⊥ B C$ ，求直线 $B_{1} E$ 与平面 $A E C_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 4$ ， $S_{3} = 14$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $q > 1$ ，证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n}{a_{n}} < 2$ .

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20. 根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量y（单位：千吨）与年份的散点图如下：
记年份代码为 $x (x = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ ， $t = \frac{1}{x}$ ，对数据处理后得：
$\bar{y}$
$\bar{t}$
$\sum_{i = 1}^{5} t_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} t_{i} y_{i}$
6
0.45
1.5
210
76
17

(1)、根据散点图判断，模型① $y = b x + a$ 与模型② $y = \frac{d}{x} + c$ 哪一个适宜作为y关于x的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到0.01）.
参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{v} x + \hat{u}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{v} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{u} = \bar{y} - \hat{v} \bar{x}$ .

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21. 以点P为圆心的圆过点 $A (1 ， 0)$ ，且与直线 $x = - 1$ 相切，记点P的轨迹为C.

(1)、求C的方程；

(2)、设过点 $H (4 ， 0)$ 的直线与C交于M，N两点，T是直线 $x = - 4$ 上任意一点，证明：直线TM，TH，TN的斜率成等差数列.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = \frac{1}{e} (\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + a) (a \in R)$ ，过原点的直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，也与曲线 $y = g (x)$ 相切.

(1)、求a；

(2)、设 $h (x) = m f (x) + e g (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）证明： $6 < h (x_{1}) + h (x_{2}) < 7$ .

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$\bar{y}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{5} t_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} t_{i} y_{i}$
6	0.45	1.5	210	76	17