湘豫名校联考2023届高三上学期理数8月入学摸底考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $M = {x | | x - 1 | > 1} ， N = {x | - 2 \leq x < 1}$ ，则 $(∁_{U} M) ∪ N =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 ⩽ x < 0}$ B、 ${x ∣ - 2 ⩽ x ⩽ 0}$ C、 ${x ∣ - 2 ⩽ x ⩽ 2}$ D、 ${x ∣ 0 ⩽ x ⩽ 2}$

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2. 设 $m ， n$ 表示两条不同的直线， $α$ 表示平面，且 $m / / n$ ，则“ $n ⊥ α$ ”是“ $m ⊥ α$ ”成立的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知随机变量 $ξ ∼ N (2 ， σ^{2})$ ，若 $P (2 ⩽ ξ < 3) = 0.3$ ，则 $P (ξ < 1) =$ （）

A、0.6 B、0.5 C、0.3 D、0.2

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4. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + s i n x + a$ ，若 $f (l n m) = 1 ， f (l n \frac{1}{m}) = 3$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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5. 定义函数 $f (x ， n) = (1 + x)^{n} (n \in N^{*})$ ，已知 $f (i ， n) = 32 i (i$ 为虚数单位 $)$ ，则 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中常数项是（）

A、180 B、120 C、90 D、45

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6. 已知函数 $f (x) = 2 l n x + \frac{1}{x} - x$ ，则不等式 $f (2 x - 1) < f (1 - x)$ 的解集为（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3})$ B、 $(\frac{2}{3} ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{2}{3})$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $a_{3}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{11}$ 的等比中项，且 $a_{2} = 5$ .若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ （）

A、 $\frac{n}{6 n + 4}$ B、 $\frac{n}{6 n + 6}$ C、 $\frac{n}{3 n + 2}$ D、 $\frac{n}{3 n + 3}$

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8. 将函数 $y = s i n x$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $m (m > 0)$ 倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移 $φ (0 < φ < π)$ 个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的 $n (n > 0)$ 倍，横坐标不变，得到如图所示的函数 $f (x)$ 的部分图象，则 $m ， n ， φ$ 的值分别为（）

A、 $m = 2 ， n = 2 ， φ = \frac{2 π}{3}$ B、 $m = \frac{1}{2} ， n = 2 ， φ = \frac{2 π}{3}$ C、 $m = 2 ， n = 2 ， φ = \frac{π}{3}$ D、 $m = \frac{1}{2} ， n = 2 ， φ = \frac{π}{3}$

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9. 某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）

A、72 B、108 C、216 D、432

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R ， f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ .给出下列不等式：① $f (2) > e \cdot f (1)$ ；② $2 f (1) > e \cdot f (l n 2)$ ；③ $f (1) > 2 e \cdot f (l n \sqrt{2})$ ，其中不等式恒成立的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 已知三棱锥 $D - A B C$ 的顶点都在球 $O$ 的球面上，底面 $△ A B C$ 为等边三角形，且其所在圆 $O_{1}$ 的面积为 $6 π$ .若三棱锥 $D - A B C$ 的体积的最大值为 $9 \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{256}{3} π$ B、 $\frac{343}{6} π$ C、 $256 π$ D、 $\frac{343}{2} π$

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12. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左､右两支分别交于 $M ， N$ 两点，且 $(\vec{F_{2} M} + \vec{F_{2} N}) \cdot \vec{M N} = 0$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1) ， \vec{b} = (λ ， 2) (λ \in R)$ .若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则 $| A B |$ 等于.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{3} = 2 S_{2} + 1 ， a_{4} = 2 S_{3} + 1$ .数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = l o g_{3} a_{n}$ ，若存在常数 $k$ ，使不等式 $k ⩾ \frac{b_{n} + 1}{(n + 9) (b_{n} + 2)} (n \in N^{*})$ 恒成立，则 $k$ 的最小值为.

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16. 已知不等式 $e^{x} + a l n x \geq x^{a} + x$ 对任意 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，则正实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 3 + 2 \sqrt{3} s i n x c o s x - 6 c o s^{2} x$ .

(1)、若 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、已知 $a ， b ， c$ 分别为锐角 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边， $f (B) = 3$ ，且 $b = \sqrt{7} ， a + c = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 在如图所示的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为正三角形，且 $A B = A A_{1} = 2$ ，点 $P ， Q$ 分别为 $A_{1} B_{1} ， B C$ 的中点.

(1)、求直线 $P C_{1}$ 与平面 $A Q C_{1}$ 所成角的正弦值；

(2)、求二面角 $B - A C_{1} - Q$ 的余弦值.

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19. 某商超通过产品､价格､渠道和促销等各种营销策略，销售业绩得到不断提升，商超利润也有较大的攀升，经统计，该商超近7周的利润数据如下：
第 $x$ 周
1
2
3
4
5
6
7
商超利润 $y$ （单位：万元）
32
35
36
45
47
51
55
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 301 ， \sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 112$

(1)、若 $y$ 关于 $x$ 具有较强的线性相关关系，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测该商超下周的利润；

(2)、该商超为提升业绩，决定对客户开展抽奖促销活动：单张小票不超过500元可参加抽奖一次；单张小票超过500元可参加抽奖两次.若抽中“一等奖”，可获得30元的代金券；抽中“二等奖”，可获得20元的代金券；抽中“谢谢参与”，则没有奖励.已知本次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为 $\frac{1}{4}$ ，获得二等奖”的概率为 $\frac{1}{2}$ .某客户有两次参与抽奖活动的机会，假设两次抽奖之间是否中奖相互独立，求该客户所获得代金券总额 $X$ （元）的分布列及数学期望.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{3}$ ，以原点为圆心､椭圆短半轴长为半径的圆与直线 $x - y - 4 = 0$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点（直线 $l$ 与 $x$ 轴不重合）.在 $x$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得直线 $P M$ 与 $P N$ 的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x + 1$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(a ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $f (x) \geq x^{2} e^{1 - x}$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} c o s α \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线 $l$ 过点 $A (- 1 ， 0)$ ，倾斜角为 $\frac{3}{4} π$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ，点 $P$ 为曲线 $C$ 上的动点，当 $∠ P A B$ 最大时，求 $△ P A B$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - | x - 5 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 3$ 的解集；

(2)、若 $f (x)_{m a x} = m$ ，且正数 $a ， b$ 满足 $a + b = m$ ，证明： $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ⩾ \frac{2}{9}$ .

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第 $x$ 周	1	2	3	4	5	6	7
商超利润 $y$ （单位：万元）	32	35	36	45	47	51	55