山东省日照市2023届高三上学期数学第一次校际联合考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x \in Z | - 1 \leq x \leq 1}$ ， $N = {x \in Z | x (x - 2) \leq 0}$ ，则如图所示的韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知 ${(1 - i)}^{2} z = 2 + 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的图像连续不断，则“ $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上有零点”是“ $f (- 2) \cdot f (2) < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = e^{x} - x^{2} - 2 x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设正实数m，n满足 $m + n = 2$ ，则 $\frac{n}{m} + \frac{1}{2 n}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{9}{4}$

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6. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 9$ ， $a_{5} = - 1$ ．记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则数列 ${T_{n}}$ （）．

A、有最大项，有最小项 B、有最大项，无最小项 C、无最大项，有最小项 D、无最大项，无最小项

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7. 如图，直线 $x = m (m > 1)$ 依次与曲线 $y = \log_{a} x$ 、 $y = \log_{b} x$ 及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段 $A C$ 的中点，则（　　）

A、 $1 < b \leq 2 a - 1$ B、 $b > 2 a - 1$ C、 $1 < b \leq 2 a$ D、 $b > 2 a$

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8. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ，若向量 $| \vec{c} - \vec{a} | \leq 1$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， 4]$ B、 $[- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3}]$ C、 $[0 ， 2 \sqrt{3}]$ D、 $[0 ， 4]$

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二、多选题

9. 八卦是我国古代的一套有象征意义的符号.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中 $| O A | = 1$ ，则（）

A、 $\vec{E F} = \vec{A B}$ B、 $\vec{O B} + \vec{O H} = - \sqrt{2} \vec{O E}$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O D} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\vec{A H} \cdot \vec{H O} = \vec{B C} \cdot \vec{B O}$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 直线对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、 $y = 1$ 与图象 $y = f (x) (- \frac{π}{12} \leq x \leq \frac{23 π}{12})$ 的所有交点的横坐标之和为 $\frac{8 π}{3}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 定义域为R，且 $f (x) = f (x - 2)$ .
当 $x \in [0 ， 2)$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - x ， x \in [0 ， 1) \\ \frac{2}{3 - x} - 1 ， x \in [1 ， 2) \end{array}$ .若函数 $g (x) = f (x) - k$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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12. 当 $1 < x_{1} < x_{2}$ 时，不等式 $x_{2} e^{x_{1}} - x_{1} e^{x_{2}} < 0$ 成立．若 $b > e^{a} > e$ ，则（）

A、 $e^{b} > b e^{e - 1}$ B、 $e^{a + b} < b e^{e^{a}}$ C、 $a e^{b} < b l n a$ D、 $a b > e^{a} l n b$

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三、填空题

13. 已知 $α \in {- 2 ， - 1 ， - \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} ， 1 ， 2 ， 3}$ ．若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，且其图像不过坐标原点，则 $α =$ ．

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14. 已知 $s i n (\frac{π}{12} - \frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3} ，$ 则 $s i n (2 α + \frac{π}{6}) =$ .

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15. 设函数 $f (x) = e^{x} (x + 1)$ 的图象在点 $(0 ， 1)$ 处的切线为 $y = a x + b$ ，若方程 $| a^{x} - b | = m$ 有两个不等实根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且图像关于直线 $x = 1$ 对称，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = x (2 - x)$ ，对于闭区间 $I$ ，用 $M_{I}$ 表示 $y = f (x)$ 在 $I$ 上的最大值.若正数 $k$ 满足 $M_{[0 ， k]} = 2 M_{[k ， 2 k]}$ ，则 $k$ 的值可以是.（写出一个即可）.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x - \frac{1}{2} c o s 2 x - 1$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值和最小正周期；

(2)、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c = 3$ ， $f (C) = 0$ ，若向量 $\vec{m} = (1 ， s i n A)$ 与 $\vec{n} = (2 ， s i n B)$ 共线，求a，b的值.

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18. 已知数列{an}，{bn}，{cn}中， $a_{1} = b_{1} = c_{1} = 1 ， c_{n} = a_{n + 1} - a_{n} ， c_{n + 1} = \frac{b_{n}}{b_{n + 2}} \cdot c_{n} (n \in N^{*})$ ．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 $q > 0$ ，且 $b_{1} + b_{2} = 6 b_{3}$ ，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 $d > 0$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + ⋯ + c_{n} < 1 + \frac{1}{d}$ ． $(n \in N^{*})$

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} [(\frac{1}{9})^{x} + 1] + k x (k \in R)$ 是偶函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = l o g_{3} (\frac{m}{3^{x}} - 2 m)$ ，其中 $m > 0$ ，若方程 $f (x) - x = g (x)$ 存在实数解，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 如图，已知在 $△ A B C$ 中，M为BC上一点， $A B = 2 A C \leq B C$ ， $B \in (0 ， \frac{π}{2})$ 且 $s i n B = \frac{\sqrt{15}}{8}$ ．

(1)、若 $A M = B M$ ，求 $\frac{A C}{A M}$ 的值；

(2)、若AM为 $∠ B A C$ 的平分线，且 $A C = 1$ ，求 $△ A C M$ 的面积．

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21. 一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成， $A B = 1$ 米，如图所示.小球从A点出发以 $5 v$ 的速度沿半圆O轨道匀速运动到某点E处，经弹射后，以 $6 v$ 的速度沿EO的方向匀速运动到BC上某点F处.设 $∠ A O E = θ$ 弧度，小球从A到F所需时间为T.

(1)、试将T表示为 $θ$ 的函数 $T (θ)$ ，并写出定义域；

(2)、当 $θ$ 满足什么条件时，时间T最短.

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22. 已知函数 $f (x) = | \frac{a - x e^{x}}{x} | - a l n x$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)、若 $f (x) > a$ ，求实数a的取值范围.

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