内蒙古包头市2022-2023学年高三上学期理数开学调研考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设 $z = (3 - 2 i) i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 + 3 i$ B、 $2 - 3 i$ C、 $2 + 3 i$ D、 $- 2 - 3 i$

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2. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， 5 ， 7} ， B = {x | 0 < x < 6 ， x \in Z}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${1 ， 4}$ B、 ${1 ， 2 ， 7}$ C、 ${1 ， 3 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 2$ ，它们的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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5. 从2名女同学和3名男同学中任选2人参加志愿者服务，则选中的2人恰好是男女同学各1名的概率为（）

A、0.4 B、0.3 C、0.6 D、0.5

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条近线方程为 $y = - 2 \sqrt{2} x$ ，则其离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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7. 在 $△ A B C$ 中， $s i n \frac{C}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， B C = 1 ， A B = 4 \sqrt{2}$ ，则 $A C =$ （）

A、 $\frac{31}{5}$ B、5 C、 $\frac{25}{4}$ D、6

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8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 $a = 1$ ，则输出的 $S =$ （）

A、3 B、2 C、-2 D、-3

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9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E、F分别为棱 $A_{1} B_{1}$ 和 $B C$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $C C_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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10. 若 $f (x) = s i n x + c o s x + 2$ 在 $[0 ， a]$ 是增函数，则a的最大值是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、π

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11. 已知 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ 是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，且 $S_{△ F_{1} P F_{2}} = c^{2}$ ，则E的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (x) = f (2 - x)$ ．若 $f (1) = 1$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + ⋯ + f (30) =$ （）

A、13 B、0 C、-1 D、1

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二、填空题

13. 曲线 $y = l n x + e^{x}$ 在点 $(1 ， e)$ 处的切线方程为．

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 y + x - 4 \geq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \\ x - 4 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - y$ 的最小值为．

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15. 已知 $t a n (α - \frac{3 π}{4}) = 2$ ，且 $α$ 是第一象限角，则 $s i n α =$ ．

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16. 已知圆锥的顶点为P，母线 $P A ， P B$ 的夹角为 $60 °$ ， $P A$ 与圆锥底面所成角为 $45 °$ ，若 $△ P A B$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则该圆锥的侧面积为．

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三、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 6 ， S_{6} = S_{7}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最大值．

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18. 根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录数据绘制了如下茎叶图：

(1)、根据茎叶图判断哪位运动员的成绩更好？并说明理由；

(2)、求24个得分的中位数m，并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的列联表：

超过m
不超过m
甲
乙

(3)、根据（2）中的列联表，能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异？
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841

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19. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $A B = A C = 2 ， S A = S B = S C = 3 \sqrt{2} ， B C = 2 \sqrt{2}$ ， D为 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $S D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若E是棱 $A C$ 上的动点，当 $△ S D E$ 的面积最小时，求 $S C$ 与平面 $S D E$ 所成角的正弦值．

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20. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点 $A (2 ， 1)$ ，过F且斜率为 $k (k < 0)$ 的直线l与C交于M，N两点， $| M N | = 8$ ．

(1)、求C和 $l$ 的方程；

(2)、求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a (x^{2} + x + \frac{1}{4})$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论 $f (x)$ 的零点情况．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 c o s θ ， \\ y = 2 s i n θ ， \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线l的极坐标方程为 $ρ s i n α - 2 ρ c o s α + a - 1 = 0$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，求C与l的交点坐标；

(2)、若C上的点到l距离的最大值为 $5 \sqrt{2}$ ，求a．

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23. 已知 $x > 0 ， y > 0 ， x^{3} + y^{3} = 1$ ．证明：

(1)、 $(x + y) (x^{5} + y^{5}) \geq 1$ ；

(2)、 $x + y \leq \sqrt[3]{4}$ ．

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	超过m	不超过m
甲
乙

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841