江苏省镇江市2022-2023学年高三上学期数学期初试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = R$ ， $A = {y | y = \sqrt{x} ， x \geq 1}$ ， $B = {x | y = l n (2 - x)}$ ，则 $A ∩ ∁_{U} B =$ （）

A、 $[2 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[1 ， 2]$

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2. 命题“对于任意事件 $A$ ， $P (A) \leq 1$ ”的否定是（）

A、对于任意事件 $A$ ， $P (A) > 1$ B、对于任意事件 $A$ ， $P (A) \geq 1$ C、存在事件 $A$ ， $P (A) \geq 1$ D、存在事件 $A$ ， $P (A) > 1$

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3. 已知 $n$ ， $m$ 为正整数，且 $n \geq m$ ，则在下列各式中，正确的个数是（）
① $A_{6}^{3} = 120$ ；② $A_{12}^{7} = C_{12}^{7} \cdot A_{7}^{7}$ ；③ $C_{n}^{m} + C_{n + 1}^{m} = C_{n + 1}^{m + 1}$ ；④ $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分，从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据．由下表可知其线性回归方程为

\hat{y} = 0.28 x + 0.16

，

月份代码 $x$	1	2	3	4	5
碳酸锂价格 $y$	0.5	$a$	1	1.2	1.5

则表中 $a$ 的值为（）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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5. 日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将 $1 t$ 水净化到纯净度为 $x %$ 时所需费用（单位：元）约为 $c (x) = \frac{5284}{100 - x} (80 < x < 100)$ ，则净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为92%左右时净化费用变化率的（）

A、16倍 B、20倍 C、25倍 D、32倍

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6. 某物理量的测量结果服从正态分布 $N (10 ， σ^{2})$ ，下列结论中不正确的是（）

A、 $σ$ 越大，该物理量在一次测量中在 $(9.9 ， 10.1)$ 的概率越大 B、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C、 $σ$ 越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中落在 $(9.9 ， 10.2)$ 与落在 $(9.8 ， 10.1)$ 的概率相等

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7. 四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为1的菱形，侧棱长为2，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D = 60 °$ ，则线段 $A_{1} C$ 的长度是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{\sqrt{34}}{2}$ C、3 D、 $\sqrt{11}$

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = a \cdot 2^{x} + b$ ．若 $f (0) + f (3) = 6$ ，则 $f (l o g_{2} 96)$ 的值是（）

A、-12 B、-2 C、2 D、12

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二、多选题

9. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 5)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 2 ， x)$ ，则下列选项正确的为（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = 10$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = 2$ C、若 $x = - 3$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = 3$ D、若 $x = 0$ ，则 $c o s < \vec{a} ， \vec{b} > = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

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10. 已知函数 $f (x) = l n x + l n (2 - x) + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有一个极值点 B、 $f (x)$ 没有零点 C、直线 $y = x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线 D、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = 1$ 对称

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11. 已知函数 $f (x) = (1 - 2 x)^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} x^{6} (a_{i} \in R ， i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 6)$ 的定义域为 $R$ ．（）

A、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} = - 1$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 364$ C、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 6 a_{6} = 12$ D、 $f (5)$ 被8整除余数为7

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12. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则（）

A、从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为 $\frac{2}{3}$ B、从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为 $\frac{6}{35}$ C、从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4 D、从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为 $\frac{5}{14}$

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三、填空题

13. 数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位数为 $m$ ， 60百分位数为 $a$ ，则 $m + a =$ ．

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14. 已知 $e$ 为自然对数底数，函数 $f (x) = e^{x} + \frac{4}{e^{x}}$ 的值域为 $[4 ， 5]$ ，请给出函数 $f (x)$ 的一个定义域．

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15. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是平行四边形，侧棱 $P B$ 、 $P C$ 、 $P D$ 上分别有一点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ ，且满足 $\vec{P E} = \frac{2}{3} \vec{P B}$ ， $\vec{P G} = \frac{1}{2} \vec{P D}$ ， $\vec{P F} = λ \vec{P C}$ ，若 $A$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 四点共面，则实数 $λ =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ ，则 $f^{'} (\frac{1}{2}) + f^{'} (\frac{5}{2}) =$ ；且 $\frac{a^{2} + b + 4}{c}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{4} \leq 2^{x} \leq 32}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x + 4 - m^{2} \leq 0 ， m \in R}$ ．

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A ∪ B$ ；

(2)、若存在正实数 $m$ ，使得“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的，求正实数 $m$ 的取值范围．
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．

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18. 已知 $n$ 为正偶数，在 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第5项的二项式系数最大．

(1)、求展开式中的一次项；

(2)、求展开式中系数最大的项．

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19. 2022年某公司为了提升产品的竞争力和市场占有率，对该项产品进行了创新研发和市场开拓，经过一段时间的运营后，统计得到创新研发和市场开拓的总投入 $x$ （单位：百万元）与收益 $y$ （单位：百万元）之间的五组数据如下表：
$x$
1
2
3
4
5
$y$
10
11
14
25
20
参考公式：① $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；② $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ .

(1)、请判断收益 $y$ 与总投入 $x$ 的线性相关程度，求相关系数 $r$ 的大小（精确到0.01）；

(2)、该公司对该产品的满意度进行了调研，得到部分调查数据如下表：
满意
不满意
总计
男
54
18
女
36
总计
90
60
150
问：消费者满意程度是否与性别有关？

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是梯形， $A D ∥ B C$ ，且 $A B ⊥ S D$ ， $S A = A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ．

(1)、求二面角 $B - S C - D$ 的大小；

(2)、已知 $E$ 为 $C D$ 中点，问：棱 $S D$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得 $B Q$ 与 $A E$ 垂直？若存在，请求出 $S Q$ 的长；若不存在，请说明理由．

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21. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.

(1)、求顾客抽奖1次能获奖的概率；

(2)、若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - k$ （ $k$ 为常数， $k \in R$ ）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、已知实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为函数 $f (x)$ 的三个不同零点．
①如果 $b > 0$ ， $c > 0$ ，求证 $1 < b + c < \frac{4}{3}$ ；
②如果 $a < b < c$ ，且 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列，请求出 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	满意	不满意	总计
男	54	18
女	36
总计	90	60	150