江苏省扬州市宝应县2022-2023学年高三上学期数学期初检测试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {x \in N | 1 < x - 1 < 3} ， B = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $∁_{B} A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 5}$ B、 ${1 ， 2 ， 4}$ C、 ${1 ， 2 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5}$

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2. 已知 $p ： \frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ ， $q ： a > b > 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) s i n x$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的最大盛水量为（）

A、 $68 π c m^{3}$ B、 $152 π c m^{3}$ C、 $20 \sqrt{10} π c m^{3}$ D、 $204 π c m^{3}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且满足 $f (- x + 2) = - f (x + 2)$ ，又 $f (x + 1)$ 为偶函数，若 $f (1) = 1$ ，则 $f (2) + f (7) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、-1

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6. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $\frac{l n a}{e^{a}} = \frac{l n b}{b} = - \frac{l n c}{c} < 0$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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7. 正四面体ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，则异面直线CE和AF所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{^{'}} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) + \frac{f (x)}{x} < 0$ ，且 $f (2) = 3$ ，则不等式 $f (2 x - 1) < \frac{6}{2 x - 1}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) ∪ (\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}) ∪ (\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$

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二、多选题

9. 若“ $x^{2} + 3 x - 4 < 0$ ”是“ $x^{2} - (2 k + 3) x + k^{2} + 3 k \geq 0$ ”的充分不必要条件，则实数 $k$ 可以是（）

A、-8 B、-5 C、1 D、4

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} ， x \leq 1 \\ \frac{e^{x}}{x} ， x > 1 \end{array}$ ，下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 没有零点 B、 $\exists x_{1} \in (0 ， 1) ， \exists x_{2} \in (1 ， 3)$ ，使 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- e^{- 1} ， + \infty)$ D、若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是 $(0 ， + \infty) ∪ {- \frac{1}{2 e}}$

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11. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) = f (2 - x)$ ， $f (- x) = - f (x - 2)$ ，当 $x \in (- 1 ， 1]$ 时， $f (x) = - x^{2} + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2022) = 1$ B、当 $x \in [4 ， 6]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[- 1 ， 0]$ C、 $y = f (x + 3)$ 为奇函数 D、方程 $f (x) = l g (x + 1)$ 仅有5个不同实数解

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12. 我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在球 $O$ 的表面上，则（）

A、正四棱柱和正四棱锥的高均为 $\frac{1}{2}$ B、正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为 $12 + 4 \sqrt{2}$ C、球 $O$ 的表面积为 $9 π$ D、正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为 $α$ 、 $β (α < \frac{π}{2})$ ，则 $α < β$

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三、填空题

13. 已知命题p： $\forall x \in [1 ， 2] ， x^{2} + 1 \geq a$ ，命题q： $\exists x \in [- 1 ， 1]$ ，使得 $2 x + a - 1 > 0$ 成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 .

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14. 如图，边长为2的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点，将 $△ A B E$ ， $△ C E F$ ， $△ A D F$ 分别沿 $A E$ ， $E F$ ， $A F$ 折起，使得 $B$ ， $C$ ， $D$ 三点重合于点 $P$ ，若四面体 $P - A E F$ 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为．

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15. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + a (x + l n x)$ 没有极值，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} x | ， x > 0 ， \\ x^{2} + 4 x + 4 ， x \leq 0 ， \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有四个零点，从小到大依次为a，b，c，d，则 $\frac{1}{c^{2} d} - (a + b) c$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知 $a < 3$ ，设 $A = {x | x^{2} - (3 + a) x + 3 a < 0} ， B = {x | l o g_{3} (x^{2} + 4 x + 4) > 2}$ .

(1)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in ∁_{R} B$ ”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = a \cdot 4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 1$ ， $(a \in R)$

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， 2]$ 的值域

(2)、若关于x的方程 $f (x) = (1 - a) \cdot 2^{x} + 3$ 有解，求a的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B M N$ 中， $△ P N M$ 是边长为2的正三角形， $A N ⊥ N P$ ， $A N ∥ B M$ ， $A N = 3$ ， $B M = 1$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $C$ ， $D$ 分别是线段 $A B$ ， $N P$ 的中点.

(1)、求证：平面 $A N M B ⊥$ 平面 $N M P$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A B P$ 所成角的正弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} (k + 1) x^{2} + 3 k x + 1$ ，其中 $k \in R$ .

(1)、当 $k = 3$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 3)$ 内的极值点；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最小值为3，求实数k的取值范围.

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21. 如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径 $A B = 4$ ，母线 $P H = 2 \sqrt{2}$ ， M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.

(1)、设平面 $P O H ∩$ 平面 $P B C = l$ ，证明： $l ∥ B C$ ；

(2)、设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x + a)$ ，其中e是自然对数的底数， $a \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $g (x) = f (x - a) - x^{2}$ ，讨论函数 $g (x)$ 零点的个数，并说明理由．

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