江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期数学期初调研考前冲刺卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．若某声音对应的函数可近似为 $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，则下列叙述正确的是（）

A、 $x = \frac{π}{2}$ 为 $f (x)$ 的对称轴 B、 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ 为 $f (x)$ 的对称中心 C、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 10]$ 上有3个零点 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{5 π}{3} ， \frac{7 π}{3}]$ 上单调递增

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2. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的增函数，且恒有 $f [f (x) - \ln x] = 1$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $f (x) \leq a x - 1$ 恒成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 如果对一切正实数 $x$ ， $y$ ，不等式 $\frac{y}{4} - c o s^{2} x \geq a s i n x - \frac{9}{y}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{4}{3}]$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $[- 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$ D、 $[- 3 ， 3]$

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4. 黄金分割〔 $G o l d e n S e c t i o n$ 〕是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取 $3.14$ 一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形 $(G o l d e n R e c t a n g l e)$ 的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的帕特农神庙就是一个很好的例子，达 $\cdot$ 芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618 .$ 其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $B F ⊥ A C$ ， $D H ⊥ A C$ ， $A E ⊥ B D$ ， $C G ⊥ B D$ ， $\vec{B E} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \vec{B O}$ ，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \vec{B A} + \frac{5 + \sqrt{5}}{10} \vec{B G}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \vec{B A} + \frac{5 - \sqrt{5}}{10} \vec{B G}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \vec{B A} + \frac{5 - \sqrt{5}}{10} \vec{B G}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \vec{B A} + \frac{\sqrt{5}}{5} \vec{B G}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 ， A C = 2$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，过 $△ A B C$ 的外心O的直线(不经过点 $A$ )分别交线段 $A B ， A C$ 于 $D ， E$ ，且 $\vec{A D} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A E} = μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{11 + 4 \sqrt{6}}{18} ， \frac{13}{10}]$ B、 $[\frac{11 + 4 \sqrt{6}}{18} ， \frac{23}{15}]$ C、 $[\frac{14 + 3 \sqrt{6}}{18} ， \frac{13}{10}]$ D、 $[\frac{14 + 3 \sqrt{6}}{18} ， \frac{23}{15}]$

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6. $P$ ､ $Q$ ､ $R$ 是等腰直角三角形 $A B C$ （ $∠ A = \frac{π}{2}$ ）内的点，且满足 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A$ ， $∠ A C Q = ∠ C B Q = ∠ B A Q$ ， $s i n A \vec{R A} + s i n B \vec{R B} + s i n C \vec{R C} = \vec{0}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} > \vec{Q A} \cdot \vec{Q B} > \vec{R A} \cdot \vec{R B}$ B、 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} > \vec{P A} \cdot \vec{P B} > \vec{R A} \cdot \vec{R B}$ C、 $\vec{R A} \cdot \vec{R B} > \vec{P A} \cdot \vec{P B} > \vec{Q A} \cdot \vec{Q B}$ D、 $\vec{R A} \cdot \vec{R B} > \vec{Q A} \cdot \vec{Q B} > \vec{P A} \cdot \vec{P B}$

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7. 已知 $a ， b ， c \in (0 ， 1)$ ，且 $a^{2} - 2 l n a - 1 = \frac{l n 3}{3}$ ， $b^{2} - 2 l n b - 1 = \frac{1}{e}$ ， $c^{2} - 2 l n c - 1 = \frac{l n π}{π}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > c > b$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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8. 已知数列{ $x_{n}$ } 满足0<x₁< x₂ <π，且 $x_{n + 1} = {\begin{matrix} x_{n} + \sin x_{n} ， x_{n} \leq x_{n - 1} \\ x_{n} + \cos x_{n} ， x_{n} > x_{n - 1} \end{matrix} (n \geq 2)$ ，则（）

A、 $x_{3} < x_{4} ， x_{2019} < π$ B、 $x_{3} < x_{4} ， x_{2019} > π$ C、 $x_{3} > x_{4} ， x_{2019} < π$ D、 $x_{3} > x_{4} ， x_{2019} > π$

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二、多选题

9. 若数列 ${a_{n}}$ 满足：对 $\forall i ， j \in N *$ ，若 $i < j$ ，则 $a_{i} < a_{j}$ ，称数列 ${a_{n}}$ 为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列 ${a_{n}}$ 是“鲤鱼跃龙门数列”的有（）

A、 $a_{n} = n^{2} - 4 n + 1$ B、 $a_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ C、 $a_{n} = s i n n π$ D、 $a_{n} = l n \frac{n}{n + 1}$

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10. 下列关于复数的命题中 $(i$ 为虚数单位 $)$ ，说法正确的是（）

A、若关于x的方程 $(1 + i) x^{2} + a x + 1 - 4 i = 0 (a \in R)$ 有实根，则 $a = \pm \frac{5}{2}$ B、复数z满足 $(1 + i) z = i^{2020}$ ，则z在复平面对应的点位于第二象限 C、 $1 + 2 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，其中p、q为实数，则 $q = 5$ D、已知 $z_{1} = a + b i$ ， $z_{2} = c + d i$ ，且 $z_{1} = z_{2}$ ，则 $a = c ， b = d$

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11. $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $A C$ 上的一点，且满足 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，若 $P$ 为边 $B D$ 上的一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A C} (m > 0 ， n > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $m + 2 n = 1$ B、 $m n$ 的最大值为 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $6 + 4 \sqrt{2}$ D、 $m^{2} + 9 n^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = 0 . 5^{s i n x + c o s x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是以 $2 π$ 为周期的周期函数 B、直线 $x = \frac{3 π}{4}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $f (x)$ 的值域为 $[2^{- \sqrt{2}} ， 2^{\sqrt{2}}]$ D、 $f (x)$ 在 $[π ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递增

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三、填空题

13. 若向量 $\vec{a} = (3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (7 ， - 2)$ ，则与 $\vec{a} - \vec{b}$ 共线的单位向量的坐标是.

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14. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数， $f (x - 2)$ 为奇函数， $f (2 x - 1)$ 为偶函数，则 $\sum_{i = 0}^{16} f (i) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 8 x}{m} - x + \frac{2 x^{2}}{e^{x}} (m \neq 0)$ 有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且有 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $(2 - \frac{e^{x_{1}}}{x_{1}}) \sqrt{(2 - \frac{e^{x_{2}}}{x_{2}}) (2 - \frac{e^{x_{3}}}{x_{3}})}$ 的值为.

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16. 设复数 $z_{1} = 1 - i$ ， $z_{2} = c o s θ + i s i n θ$ ，其中 $θ \in [0 ， π]$ ，若复数 $z = \bar{z_{1}} \cdot z_{2}$ 为实数，则 $θ =$ ， $| z_{1} + z_{2} |$ 的范围为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{3}{2} n^{2} + \frac{5}{2} n$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{3}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知 $s i n θ$ 、 $c o s θ$ 是方程 $2 x^{2} - (\sqrt{3} - 1) x + m = 0$ 的两个实数根.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n θ}{1 - \frac{1}{t a n θ}} + \frac{c o s θ}{1 - t a n θ}$ 的值；

(3)、若 $θ \in (\frac{3}{2} π ， 2 π)$ ，求 $c o s 2 θ$ 的值.

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19. 将形如 $| \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} |$ 的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下： $| \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ ．已知两个不共线的向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ， $| \vec{a} | = 6$ ， $| \vec{b} | = t$ （其中 $t > 0$ ），且 $| \begin{array}{l} t & \sqrt{2} s i n \frac{π}{4} \\ 2 c o s \frac{π}{3} & 1 \end{array} | = 1$ ．

(1)、若 $θ$ 为钝角，试探究 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 5 \vec{b}$ 能否垂直？若能，求出 $c o s θ$ 的值；若不能，请说明理由；

(2)、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，当 $k > 0$ 时，求 $| \vec{a} - 4 k \vec{b} |$ 的最小值并求出此时 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - 4 k \vec{b}$ 的夹角．

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20. 已知等差数列 ${A_{n}}$ 的首项 $A_{1}$ 为4，公差为6，在 ${A_{n}}$ 中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列 ${a_{n}}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{k_{1}}$ ， $a_{k_{2}}$ ， …， $a_{k_{n}}$ ， …是从 ${a_{n}}$ 中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列， $k_{1} = 1$ ， $k_{2} = 5$ ，令 $b_{n} = 2 n k_{n} + 2 n$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = 2 s i n ω x (c o s ω x - \sqrt{3} s i n ω x) + \sqrt{3} (ω > 0)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{24}]$ 上单调递增，求正数 $ω$ 的取值范围；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 $a = 2$ ， $ω = 2$ ， $f (\frac{A}{4}) = \sqrt{3}$ ， D、E、H为 $B C$ 边上的点.从以下给出的3个条件中选择其中1个条件，并根据所选择的条件判断是否存在满足条件的三角形？若存在，求出 $△ A B C$ 的周长；若不存在，请说明理由（若多种选择作答，则按第一种解答给分）.① $B C$ 边的中线 $A D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；②A角的角平分线 $A E = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；③ $B C$ 边的垂线 $A H = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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22. 已知 $f (x) = s i n x + a x^{3} - x$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{6}$ 时，求证：函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；

(2)、若 $f (x)$ 只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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