江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期数学期初调研测试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 如图，已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | (x + 1) (x - 2) \leq 0}$ ，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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2. 已知向量 $\vec{a} = (x - 1 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， 4)$ ，则“ $x > - 3$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = x s i n π x$ B、 $f (x) = (x - 1) s i n π x$ C、 $f (x) = x c o s [π (x + 1)]$ D、 $f (x) = (x - 1) c o s π x$

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4. 已知 $s i n (α - \frac{π}{3}) = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $| a_{5} | = | a_{14} |$ ，且公差 $d < 0$ ，则其前 $n$ 项和取得最大值时 $n$ 的值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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6. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 $a^{2} + b^{2} = 2022 c^{2}$ ，则 $\frac{2 t a n A t a n B}{t a n C (t a n A + t a n B)}$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2021 D、2022

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7. 设 $a = l n 1.01$ ， $b = \frac{1.01}{30 e}$ ， $c = \frac{1}{101}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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8. 已知锐角 $△ A B C$ 满足 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ C = 60 °$ 且O为 $△ A B C$ 的外接圆圆心，若 $\vec{O C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，则 $2 λ - μ$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $[- 2 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 2)$

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二、多选题

9. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + 2 b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $9$ B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $l o g_{2}^{} a + l o g_{2}^{} b$ 的最小值为 $- 3$ D、 $2^{a} + 4^{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (2 ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到 $y = s i n 2 x$ 的图象 C、 $f (x)$ 在区间 $[- π ， - \frac{π}{2}]$ 上单调递増 D、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ，下列说法正确的有（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、 $a_{n} = 2 \times 3^{n - 1}$ C、数列 ${a_{n}}$ 是递减数列 D、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列

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12. 已知函数 $f (x) = \sqrt{1 + c o s x} + \sqrt{1 - c o s x}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $π$ 为函数 $f (x)$ 的一个周期 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上为减函数 D、函数 $f (x)$ 的值域为 $[\sqrt{2} ， 2]$

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三、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ， $3 s i n C = 4 s i n A$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则边长 $A C$ 为.

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14. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x - 2)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (l o g_{2} 10)$ 的值为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{A C} ， P$ 是 $B N$ 的中点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，则实数 $m$ 的值是.

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16. 已知函数 $f (x) = x + s i n x$ ，则不等式 $f (l n x) + f (l n 2 - x l n 2) \geq 0$ 的解集为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} + a$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，锐角 $α ， β$ 的顶点为坐标原点 $O$ ，始边为 $x$ 轴的正半轴，终边与单位圆 $O$ 的交点分别为 $P ， Q$ ．已知点 $P$ 的横坐标为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，点 $Q$ 的纵坐标为 $\frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ．

(1)、求 $c o s 2 α$ 的值；

(2)、求 $2 α - β$ 的值.

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19. △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $b c = a^{2} - c^{2}$ ．

(1)、若 $c = \sqrt{3}$ ，且 $A = \frac{π}{3}$ ，求△ABC的面积；

(2)、求 $c o s A + s i n C$ 的最大值．

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20. 从条件① $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ ， ② $a_{n}^{2} + a_{n} = 2 S_{n} ， a_{n} > 0$ ， ③ $\sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}} = a_{n} (n \geq 2)$ ，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} = 1$ ， ____.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n + 1} + 1}{2^{n + 1}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，是否存在正整数 $n$ 使得 $T_{n} > \frac{8}{3}$ .

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21. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边， $c o s^{2} A + c o s^{2} C = 1 + c o s^{2} B$ 且 $b = 1$ ，

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x - 2 x (a \neq 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时，不等式 $\frac{x^{a}}{e^{2 x}} - 2 f (x) \geq c o s [f (x)]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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