江苏省南通市海安市2022-2023学年高三上学期数学期初学业质量监测试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设 $i$ 为虚数单位，若 $(1 - i) (a + i) = 2 i$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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2. 设全集 $U = R$ ，集合 $M = {x | x \leq 1}$ ， $N = {x | x (x - 2) \geq 0}$ ，则 $M ∩ (∁_{U} N) =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 1}$ B、 ${x | x < 2}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | x \leq 2}$

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3. 已知圆锥的轴截面是斜边为 $2 \sqrt{3}$ 的直角三角形，该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $3 \sqrt{3} π$

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4. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：
借书数量（单位：本）
5
6
7
8
9
10
频数（单位：人）
5
8
13
11
9
4
则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（）

A、8 B、8.5 C、9 D、10

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5. 设函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x + 8$ ， $g (x) = l o g_{a} x (0 < a < 1)$ ，则函数 $y = g (f (x))$ 的减区间为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 4)$

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6. 在 ${(1 - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的二项展开式中，奇数项的系数之和为（）

A、-365 B、-364 C、364 D、365

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7. 已知函数 $f (x) = A c o s ω x - \sqrt{3} s i n ω x (ω > 0)$ 的部分图象如图， $y = f (x)$ 的对称轴方程为 $x = \frac{5 π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ ，则 $f (0) =$ （）

A、3 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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8. 设 $a = \sqrt[9]{10}$ ， $b = 9 s i n \frac{1}{10}$ ， $c = \sqrt[5]{3}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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二、多选题

9. 在正方体中，已知 $M$ 为棱的中点， $N$ 上底面的中心，下列图形中， $P Q ⊥ M N$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知抛物线 $C$ ： $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，下列说法正确的是（）

A、 $C$ 的准线方程为 $y = - \frac{1}{16}$ B、直线 $y = x - 1$ 与 $C$ 相切 C、若 $M (0 ， 4)$ ，则 $| P M |$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、若 $M (3 ， 5)$ ，则 $△ P M F$ 的周长的最小值为11

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11. 某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占 $40 %$ ， $60 %$ ， $60 %$ ，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件 $A$ ， “取出男生作品”为事件 $B$ ，若 $P (A B) = 0.12$ ，则（）

A、 $P (B | A) = 0.4$ B、一等奖与三等奖的作品数之比为 $3 ： 4$ C、 $P (A | B) = 0.25$ D、 $P (B) = 0.54$

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12. 设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) f (x - y) = f^{2} (x) - f^{2} (y)$ ，且 $f (1) \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的解析式唯一 C、若 $f (x)$ 是周期为 $T$ 的函数，则 $T \neq 1$ D、若 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数

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三、填空题

13. 在边长为6的等边三角形 $A B C$ 中，若 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B D} =$ .

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14. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n (α - \frac{π}{3}) = \frac{5}{13}$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{3}) =$ .

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O$ 过点 $A (5 ， 0)$ ， $B$ 为圆 $O$ 上一点，且弧 $A B$ 的中点为 $(2 \sqrt{5} ， \sqrt{5})$ ，则点 $B$ 的坐标为.

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16. 已知函数 $f (x) = a (2^{x} - 1) - x (2^{x} + 1) (a > 0)$ 的零点为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $\frac{x_{1} + x_{2}}{e^{x_{3}}}$ 的最小值是.

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四、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角A， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 b s i n B = a s i n B c o s C + c s i n A c o s B$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ ；

(2)、若 $c = 1$ ，求角 $B$ 的取值范围.

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18. 某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为85%.现用此药给 $10$ 位病人治疗，记被治愈的人数为 $X$ .

(1)、若 $X = 6$ ，从这 $10$ 人中随机选 $3$ 人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数 $Y$ 的分布列和数学期望；

(2)、当 $k$ 为何值时，概率 $P (X = k)$ 最大？并说明理由.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{6} = b_{1} = 16$ ， $a_{2} = b_{3}$ ， $S_{3} = 12$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、（i）求证： $8 \leq S_{n} \leq 16$ ；
（ii）求所有满足 $a_{k} = S_{m}$ 的正整数 $k$ ， $m$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形， $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ， $A B / / C D$ ，且 $A B > C D$ ， $B C = C P$ ， $O$ 为棱 $P A$ 的中点.

(1)、求证： $O D / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $B C ⊥ P C$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $P A D$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为2.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $M (- 4 ， 0)$ 且斜率不为0的直线 $l$ 与 $E$ 自左向右依次交于点 $B$ ， $C$ ，点 $N$ 在线段 $B C$ 上，且 $\frac{| M B |}{| M C |} = \frac{| N B |}{| N C |}$ ， $P$ 为线段 $B C$ 的中点，记直线 $O P$ ， $O N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} k_{2}$ 为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{l n (x + 1)}{e^{x}}$ .

(1)、求证：函数 $f (x)$ 存在唯一的极大值点；

(2)、若 $f (x) \leq k x (k \in R)$ 恒成立，求 $k$ 的值.

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借书数量（单位：本）	5	6	7	8	9	10
频数（单位：人）	5	8	13	11	9	4