江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期数学第一次考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x \leq 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 2]$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1]$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 4 - 3 i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是互相垂直的单位向量，则与向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直的一个单位向量是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5} (\vec{a} - 2 \vec{b})$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \vec{a} - \vec{b})$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5} (\vec{a} + 2 \vec{b})$

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4. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为 $7 . 2^{∘}$ .因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（）

A、38680千米 B、39375千米 C、41200千米 D、42192千米

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5. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + 4 > 0$ 的解集为 $(- \infty ， m) ∪ (\frac{4}{m} ， + \infty)$ ，其中 $m < 0$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、－4 B、4 C、5 D、8

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $P$ 为抛物线上一点，过点 $P$ 作 $P A ⊥ l$ ，交准线 $l$ 于点 $A$ ，若直线 $A F$ 的倾斜角为30°，则点 $P$ 的纵坐标为（）

A、3 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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7. 若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（）

A、事件A发生的概率 B、事件B发生的概率 C、事件B不发生条件下事件A发生的概率 D、事件A、B同时发生的概率

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8. 已知 $a = s i n 0.1$ ， $b = l n 1.1$ ， $c = e^{0.1} - 1$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B、已知一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{10}$ 的方差为2，则 $x_{1} + 2$ ， $x_{2} + 2$ ， $x_{3} + 2$ ， …， $x_{10} + 2$ 的方差为2 C、具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.2 x - m$ ，若样本点的中心为 $(m ， 3.2)$ ，则 $m = 4$ D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ， $P (X \leq 3) = 0.64$ ，则 $P (1 \leq X \leq 2) = 0.14$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + c o s ω x (ω > 0)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ 对称 B、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到的函数图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 1 ， 1]$ D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， 0]$ 上单调递增

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别是棱 $A_{1} D_{1}$ ， $A B$ 的中点，则（）

A、异面直线 $M D$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ B、 $M C_{1} ⊥ D_{1} N$ C、四面体 $C A B_{1} D_{1}$ 的外接球体积为 $4 \sqrt{3} π$ D、平面 $M N C$ 截正方体所得的截面是四边形

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12. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n + 1} = - S_{n} + n^{2}$ ，则（）

A、 $a_{n} + a_{n + 1} = 2 n - 1 (n \geq 2)$ B、 $a_{n + 2} - a_{n} = 2$ C、当 $a_{1} = 0$ 时， $S_{50} = 1225$ D、当数列 ${a_{n}}$ 单调递增时， $a_{1}$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{4} ， \frac{1}{4})$

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三、填空题

13. $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 + x)^{6}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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14. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点 $O$ ，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，将角 $α$ 的终边绕 $O$ 点逆时针旋转 $\frac{π}{12}$ 后，经过点 $(1 ， - 3)$ ，则 $c o s (α + \frac{π}{3}) =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 3 x + 2 ， x \geq 0 \\ | x + 2 | ， x < 0 \end{array}$ ， $g (x) = k x + 1$ .若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的图象经过四个象限，则实数 $k$ 的取值范围是.

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16. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线 $y = \pm 2$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ 及其渐近线围成的平面图形 $G$ 如图所示.若将图形 $G$ 被直线 $y = t (- 2 \leq t \leq 2)$ 所截得的两条线段绕 $y$ 轴旋转一周，则形成的旋转面的面积 $S =$ ；若将图形 $G$ 绕 $y$ 轴旋转一周，则形成的旋转体的体积 $V =$ .

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四、解答题

17. 从① $(3 n - 1) a_{n + 1} = (3 n + 2) a_{n}$ ， ② $a_{2} = 5$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， ____.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(\frac{1}{2})}^{a_{n}}$ ，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .
注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $B = \frac{2 π}{3}$ ， $b = \sqrt{6}$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，求 $a$ ， $c$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $s i n A s i n C$ 的值.

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19. 近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）

首选志愿为师范专业
首选志愿为非师范专业
女性
25
35
男性
5
25
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α = P (χ^{2} \geq k)$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？

(2)、用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列、数学期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ .

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ，侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = P B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ，且 $E$ ， $F$ 分别为 $P C$ ， $C D$ 的中点.

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $P A B$ .

(2)、若直线 $P F$ 与平面 $P A B$ 所成的角为 $60 °$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 设 $F$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点，过点 $F$ 且与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、当 $\vec{B F} = 2 \vec{F A}$ 时，求 $| \vec{F A} |$ ；

(2)、在 $x$ 轴上是否存在异于 $F$ 的定点 $Q$ ，使 $\frac{k_{Q A}}{k_{Q B}}$ 为定值（其中 $k_{Q A}$ ， $k_{Q B}$ 分别为直线 $Q A$ ， $Q B$ 的斜率）？若存在，求出 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x - 1} - a (x - l n x - 1) - 2 x$ ， $x \in (1 ， + \infty)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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	首选志愿为师范专业	首选志愿为非师范专业
女性	25	35
男性	5	25

$α = P (χ^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828