湖南省湘潭市2022-2023学年高三上学期数学入学摸底考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R ∣ x^{2} - x = 0}$ ， $B = {x \in R ∣ x^{2} + x \neq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{1} B、{-1} C、 ${0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 复数 ${(\frac{1 - i}{1 + i})}^{5} =$ （）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、i

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3. 若函数 $f (x) = s i n 2 x$ 的图象由函数 $g (x) = c o s 2 x$ 的图象经过以下变换得到的，则该变换为（）

A、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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4. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱和底面边长均为 $1 ， M ， N$ 分别是棱 $B C ， A_{1} B_{1}$ 上的点，且 $C M = 2 B_{1} N = λ$ ，当 $M N / /$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ 时， $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产 $5 n m$ 规格的芯片，现有 20 块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块，且乙生产该芯片的次品率为 $\frac{1}{20}$ ，现从这 20 块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为 $0 ． 08$ ，则甲厂生产该芯片的次品率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、 $\frac{1}{20}$

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6. 牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义 $x_{k} (k \in N)$ 是函数零点近似解的初始值，在点 $P_{k} (x_{k} ， f (x_{k}))$ 的切线为 $y = f^{^{'}} (x_{k}) (x - x_{k}) + f (x_{k})$ ，切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{k + 1}$ ，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，X满足精度的初始值即为函数零点近似解．设函数 $f (x) = x^{2} - 5$ ，满足 $x_{0} = 1$ ．应用上述方法，则 $x_{3} =$ （）

A、3 B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{47}{21}$ D、 $\frac{51}{21}$

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7. 在四边形 $A B C D$ 中， $G$ 为 $△ B C D$ 的重心， $A G = 2$ ，点 $O$ 在线段 $A G$ 上，则 $\vec{O A} \cdot (\vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D})$ 的最小值为（）

A、-3 B、-2 C、-1 D、0

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8. 已知 $a = \frac{1}{6} s i n \frac{1}{5}$ ， $b = \frac{1}{5} s i n \frac{1}{6}$ ， $c = \frac{1}{15} c o s \frac{5}{6}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = s i n π x + c o s π x (x \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是周期函数 B、函数 $f (x)$ 的最大值是 $2$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{1}{4} ， 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称

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10. 已知函数 $f (x) = l n x ， a > 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、函数 $y = f (a + x) - f (x)$ 是其定义域上的减函数 B、函数 $y = f (a - x) + f (- x)$ 是其定义域上的减函数 C、函数 $y = f (a - x) + f (a + x)$ 是其定义域上的增函数 D、函数 $y = f (a + x) - f (a - x)$ 是其定义域上的增函数

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11. 已知直线 $l ： y = k (x - 1) (k \neq 0)$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $O$ 为坐标原点，若线段 $A B$ 的中点是 $M (m ， 1)$ ，则（）

A、 $k = 2$ B、 $m = 3$ C、 $| A B | = 5$ D、 $O A ⊥ O B$

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12. 如图，已知圆锥顶点为 $P$ ，其轴截面 $△ P A B$ 是边长为 6 的为正三角形， $O_{1}$ 为底面的圆心， $E F$ 为圆 $O_{1}$ 的一条直径，球 $O$ 内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点 $Q$ 是球 $O$ 与圆锥侧面的交线上一动点，则（）

A、圆锥的表面积是 $45 π$ B、球 $O$ 的体积是 $4 \sqrt{3} π$ C、四棱锥 $Q - A E B F$ 体积的最大值为 $9 \sqrt{3}$ D、 $Q E + Q F$ 的最大值为 $6 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 设关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x + b < 0$ 的解集为 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $a + b$ 的值等于．

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14. 设 $(1 + x)^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n} (n \in N^{*} ， n \geq 4)$ ，若 $a_{4} \geq a_{i} ， i \in {0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n}$ ，则 $n$ 的所有可能取值的个数是．

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15. 某灯泡厂对编号为 $1 ， 2 ， ⋯ ， 15$ 的十五个灯泡进行使用寿命试验，得到奇数号灯泡的平均使用寿命（单位：小时）为 1580 ，方差为 15000 ，偶数号灯泡的平均使用寿命为 1580 ，方差为 12000 ，则这十五个灯泡的使用寿命的方差为．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，若以点 $A$ 为圆心，以 $b$ 为半径的圆与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M ， N$ 两点，点 $O$ 为坐标原点，且 $\vec{O M} = 5 \vec{O N}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，数列 ${b_{n}} (n \in N^{*})$ 是等差数列，其前 $n$ 项和是 $T_{n}$ ，且 $b_{1} = a_{3} ， b_{5} = a_{5}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求使得 $T_{m}$ 是数列 ${b_{n}}$ 中的项的 $m$ 的取值集合．

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18. 设 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $A$ 为钝角，且 $t a n B = \frac{b}{a}$ ．

(1)、探究 $A$ 与 $B$ 的关系并证明你的结论；

(2)、求 $c o s A + c o s B + c o s C$ 的取值范围．

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19. 如图，在四棱椎 $P - A B C D$ 中，已知四边形 $A B C D$ 是梯形， $A B$ ∥ $C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = B C = 2 C D = 2$ ， $△ P B C$ 是正三角形．

(1)、求证： $B C ⊥ P A$ ；

(2)、当四棱锥 $P - A B C D$ 体积最大时，求：
①点A到平面 $P B C$ 的距离；
②平面 $P A B$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值．

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20. 湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日倶增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答 “满意” 的 “工薪族”人数是40人，回答 “不满意” 的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是 40人，回答“不满意” 的 “非工薪族”人数是10人．
附：
$α$
0.050
0.010
0.005
$k_{0}$
3.841
6.635
7.879
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

(1)、请根据以上数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联?

满意
不满意
合计
工薪族
非工薪族
合计

(2)、用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过 $n (n \in N^{*})$ ，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到 $n$ 时，抽样结束.记此时抽样次数为 $X_{n}$ ．
(i) 若 $n = 5$ ，求 $X_{5}$ 的分布列和数学期望；
(ii) 请写出 $X_{n}$ 的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明 $X_{n}$ 的数学期望的实际意义．

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21. 如图所示，已知 $A ， B$ 两点的坐标分别为 $(- 2 ， 0) ， (2 ， 0)$ ，直线 $A P ， B P$ 的交点为 $P$ ，且它们的斜率之积 $- \frac{1}{4}$ ．

(1)、求点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、设点 $C$ 为 $x$ 轴上（不同于 $A ， B$ ）一定点，若过点 $P$ 的动直线与 $E$ 的交点为 $Q$ ，直线 $P Q$ 与直线 $x = - 2$ 和直线 $x = 2$ 分别交于 $M ， N$ 两点，求证： $∠ A C M = ∠ A C N$ 的充要条件为 $∠ A C P = ∠ A C Q$ ．

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22. 已知 $f (x) = e^{1 - x} + (a + 1) l n x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在定义域上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - a x$ ，其中 $a \geq \frac{1}{e}$ ，若 $g (x)$ 存在两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ．
① 求 $a$ 的取值范围；
② 证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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$α$	0.050	0.010	0.005
$k_{0}$	3.841	6.635	7.879

	满意	不满意	合计
工薪族
非工薪族
合计