湖南省三湘创新发展联合2022-2023学年高三上学期数学起点调研考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x \in N | x < 4}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${x | x \leq 2}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{- i}{\sqrt{3} + i}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{- 1 - \sqrt{3} i}{4}$ B、 $\frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2}$ C、 $\frac{- 1 + \sqrt{3} i}{4}$ D、 $\frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (m ， 3 - m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、-3 B、-1 C、1 D、2

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4. 一封闭的正方体容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， P，Q，R分别是AB，BC和 $C_{1} D_{1}$ 的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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5. 若关于x的不等式 $a x^{2} - (a^{2} + 6 a + 9) x + a + 1 < 0$ 的解集是 ${x | m < x < n}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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6. 香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式 $C = B l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ 来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（）

A、1.2倍 B、12倍 C、102倍 D、1002倍

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7. 甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（）

A、240 B、192 C、96 D、48

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8. 若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $f (x) = e^{x - 2}$ 与 $g (x) = e^{x + 2022} - 2022$ 的公切线，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1011}{1012}$ B、1 C、 $\frac{1012}{1011}$ D、2022

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二、多选题

9. “方程 $\frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1$ 表示椭圆”的一个充分条件是（）

A、 $m = - 1$ B、 $m = 0$ C、 $m = 1$ D、 $m > 0$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{3 π}{16}$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{8}$ 对称 C、 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 对称 D、函数 $f (x) + g (x)$ 的最小值为 $- 4$

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11. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 2 A B = 4$ ， $A A_{1} = 2$ ，则（）

A、该棱台的高为 $\sqrt{2}$ B、该棱台的表面积为 $20 + 12 \sqrt{3}$ C、该棱台的体积为 $28 \sqrt{2}$ D、该棱台外接球的表面积为 $40 π$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{i} = 1$ 或 $a_{i} = 2$ 的概率均为 $\frac{1}{2} (i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ .设 $S_{n}$ 能被3整除的概率为 $P_{n}$ ，则（）

A、 $P_{2} = 1$ B、 $P_{3} = \frac{1}{4}$ C、 $P_{11} = \frac{341}{1024}$ D、当 $n \geq 5$ 时， $P_{n} < \frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $θ$ 为三角形的内角，且 $s i n 2 θ = s i n^{2} θ$ ，则 $\frac{s i n θ (1 - c o s 2 θ)}{s i n θ + c o s θ} =$ .

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14. 已知圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = m$ 与抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线相切，则 $m =$ .

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15. 写出一个同时具有下列性质①②的函数 $f (x)$ ：.
①直线 $x = 1$ 是 $f (x)$ 图象的对称轴；② $f (x)$ 在 $R$ 上恰有三个零点.

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16. 平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线，若平面上到两条直线 $x - y = 0$ ， $y = 0$ 的距离之和为2的点P的轨迹为曲线 $Γ$ ，则曲线 $Γ$ 围成的图形面积为.

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四、解答题

17. 2022年6月某一周，“东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿元，数据统计如下表：
第t天
1
2
3
4
5
6
7
交易额y/千万元
$y_{1}$
$y_{2}$
$y_{3}$
$y_{4}$
$y_{5}$
$y_{6}$
$y_{7}$
参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 42.1$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 8.1$ ， $\sqrt{7} \approx 2.65$ .参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .在回归方程 $\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}$ 中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} t_{i} y_{i} - n \bar{t} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} t_{i}^{2} - n {\bar{t}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ .

(1)、通过分析，发现可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系，请用相关系数（系数精确到0.01）加以说明；

(2)、利用最小二乘法建立y关于t的经验回归方程（系数精确到0.1），并预测下一周的第一天（即第8天）的交易额.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $(a + b) (s i n A - s i n B) + (c - \sqrt{3} a) s i n C = 0$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若BC边上的高为 $b - c$ ，求 $s i n A$ .

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19. 在多面体 $E F - A B C D$ 中，平面 $E D C F ⊥$ 平面ABCD，EDCF是面积为 $\sqrt{3}$ 的矩形， $C D / / A B$ ， $A D = D C = C B = 1$ ， $A B = 2$ .

(1)、证明： $B D ⊥ E A$ .

(2)、求平面EDCF与平面EAB夹角的余弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，满足 $a_{3} - a_{4} = a_{3} a_{4}$ ，且 $\frac{a_{n + 2}}{a_{n}}$ ， $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}}$ ， 1成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明： $a_{1} a_{2} a_{3} + a_{2} a_{3} a_{4} + a_{3} a_{4} a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} < \frac{1}{4}$ .

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{13} x$ ，一个焦点到该渐近线的距离为 $\sqrt{39}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、设A，B是直线 $x = - 9$ 上关于x轴对称的两点，直线 $y = k (x + 9)$ 与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 a l n x + \frac{1}{2} x^{2} - (2 a + 1) x$ ， $a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{2} x^{2} + (2 a - 1) x + \frac{8}{x}$ ，若 $g (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} + 4 < 2 a$ .

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第t天	1	2	3	4	5	6	7
交易额y/千万元	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$	$y_{4}$	$y_{5}$	$y_{6}$	$y_{7}$