湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期数学入学摸底测试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x - 4 < 0} ， B = {x ∣ l g x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 4}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 10}$ C、 ${x ∣ 0 < x < 10}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 4}$

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2. 若复数 $(i^{4} + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、-1 D、1

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3. 从 $0$ ， $2$ ， $4$ ， $6$ ， $8$ 中任取2个不同的数分别记作 $a$ ， $b$ ，则 $| a - b | \geq 3$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）､（2）､（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 $\frac{13}{9} ､ \frac{64}{45} ､ \frac{10}{7}$ ，设图（1）､（2）､（3）中椭圆的离心率分别为 $e_{1} ､ e_{2} ､ e_{3}$ ，则（）

A、 $e_{1} < e_{3} < e_{2}$ B、 $e_{2} < e_{3} < e_{1}$ C、 $e_{3} < e_{2} < e_{1}$ D、 $e_{2} < e_{1} < e_{3}$

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5. 已知 $(x^{2} + a) {(x - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中 $x$ 的系数为（）

A、0 B、-120 C、120 D、-160

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6. 两条异面直线 $a ， b$ 所成的角为 $6 0^{∘}$ ，在直线 $a ， b$ 上分别取点 $A ， E$ 和点 $B ， F$ ，使 $A B ⊥ a$ ，且 $A B ⊥ b$ .已知 $A E = 6 ， B F = 8 ， E F = 2 \sqrt{37}$ 则线段 $A B$ 的长为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{6}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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7. 已知 $a = 2 ， b = 5^{\frac{1}{3}} ， c = (2 + e)^{\frac{1}{e}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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8. 已知 $t a n α ， t a n β$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根，有以下四个命题：
甲： $t a n (α + β) = - \frac{1}{2}$ ；
乙： $t a n α t a n β = 7 ： 3$ ；
丙： $\frac{s i n (α + β)}{c o s (α - β)} = \frac{5}{4}$ ；
丁： $t a n α t a n β t a n (α + β) - t a n (α + β) = 5 ： 3$ .
如果其中只有一个假命题，则该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、若甲､乙两组数据的相关系数分别为0.66和-0.85，则乙组数据的线性相关性更强 B、已知样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 的方差为4，则 $2 x_{1} + 30 ， 2 x_{2} + 30 ， ⋯ ， 2 x_{n} + 30$ 的标准差是4 C、在检验 $A$ 与 $B$ 是否有关的过程中，根据所得数据算得 $χ^{2} = 6.352$ ，已知 $P (χ^{2} ⩾ 6.635) = 0.01$ ，则有 $99 %$ 的把握认为 $A$ 和 $B$ 有关 D、对具有线性相关关系的变量 $x ､ y$ ，有一组观测数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10)$ ，其线性回归方程是 $y = \hat{b} x + 1$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + ⋯ + x_{10} = 3 (y_{1} + y_{2} + y_{3} + ⋯ + y_{10}) = 9$ ，则实数 $\hat{b}$ 的值是 $\frac{7}{9}$

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10. 若函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x + 2 c o s^{2} x + m$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值为6，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{5 π}{12}) = 5$ B、 $2 π$ 是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，不等式 $c < f (x) < c + 4$ 恒成立，则实数 $c$ 的取值范围是 $[2 ， 3)$ D、将函数 $f (x)$ 的图像向左移动 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，则函数 $g (x)$ 是一个偶函数

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11. 树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第 $n (n \in N^{*} ， n ⩾ 2)$ 天募得的捐款数为 $800 (1 + \frac{1}{2^{n - 1}})$ 元.若甲小组前 $n$ 天募得捐款数累计为 $S_{n}$ 元，乙小组前 $n$ 天募得捐款数累计为 $T_{n}$ 元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（）

A、 $S_{6} > T_{6}$ B、甲小组募得捐款为9550元 C、从第7天起，总有 $S_{n} < T_{n}$ D、 $T_{n} = 800 n + 800 \cdot \frac{2^{n - 1} - 1}{2^{n}} ， 2 \leq n \leq 14$ 且 $n \in N^{*}$

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12. 在直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与直线 $l ： x = 4$ 交于 $P ， Q$ 两点，且 $O P ⊥ O Q$ .抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $M ， G (x_{0} ， y_{0})$ 是以 $M$ 为圆心， $| O M |$ 为半径的圆上的一点（非原点），过点 $G$ 作抛物线 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ .则（）

A、 $p = 4$ B、直线 $A B$ 的方程为 $2 x - y_{0} y + 2 x_{0} = 0$ C、 $- 2 \leq x_{0} < 0$ D、 $△ A B G$ 面积的最大值是 $8 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{2 l n x}{x^{2}}$ 的极大值点是.

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14. 已知抛物线的焦点 $F$ 在 $x$ 轴上，直线 $y = - 2$ 与抛物线交于点 $A$ ，且 $| A F | = \frac{5}{2}$ .写出抛物线的一个标准方程.

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15. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) = l n (- x) + 2 x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 上的点到直线y=-x+1的最小距离为.

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16. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C$ ，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $E ， F$ 分别是 $P A ， A B$ 的中点，且 $C E ⊥ E F$ ，若 $M$ 为三棱锥 $P - A B C$ 外接球上的动点，则点 $M$ 到平面 $A B C$ 距离的最大值为.

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四、解答题

17. 已知锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 所对的边分别为 $a ､ b ､ c ， 2 b c o s B = a c o s C + c c o s A$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1} ， ∠ A B C = 9 0^{∘} ， A B = B C$ ，四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形， $∠ A_{1} A C = 6 0^{∘} ， O$ 是 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $B_{1} O A_{1}$ ；

(2)、求直线 $O A$ 与平面 $O B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动.这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声.某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到右下图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并估计样本数据的90%分位数；

(2)、采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在 $[200 ， 280]$ 的学生中抽取9人.若从这9人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在 $[200 ， 240)$ 的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} = 2^{n - 1}$ ，且 $a_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2 n - 1}{a_{2 n}} ， S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$ ，求证： $1 \leq S_{n} < 6$ .

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21. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右两个焦点， $O$ 为坐标原点，若点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $| O P | = | O F_{1} | = 2 ， △ P F_{1} F_{2}$ 的面积为3.

(1)、求双曲线 $C$ 的渐近线方程；

(2)、若双曲线 $C$ 的两顶点分别为 $A_{1} (- a ， 0) ， A_{2} (a ， 0)$ ，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，试探究直线 $A_{1} M$ 与直线 $A_{2} N$ 的交点 $Q$ 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.

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22. 已知函数 $g (x) = a l n x + x^{2} ， h (x) = (a + 2) x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若直线 $y = h (x)$ 是曲线 $y = g (x)$ 的切线，求负数 $a$ 的值；

(2)、设 $f (x) = g (x) - h (x)$ .
（i）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（ii）若函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $(1 ， e)$ 上存在零点，证明：当 $x \in (1 ， e)$ 时， $f (x) > - e^{2}$ .

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