湖北省新高考协作体2022-2023学年高三上学期数学起点考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1} ， B = {x | x^{2} + 3 x - 4 \geq 0}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = \emptyset$ B、 $A ∪ B = R$ C、 $A \subseteq B$ D、 $B \subseteq A$

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2. 已知点 $P (c o s \frac{π}{3} ， 1)$ 是角 $α$ 终边上一点，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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3. 火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，则不同的停放方法有（）

A、 $C_{5}^{3}$ 种 B、 $A_{5}^{3}$ 种 C、 $5^{3}$ 种 D、 $3^{5}$ 种

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4. $s i n 109 ° c o s 296 ° + c o s 71 ° s i n 64 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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5. 要得到 $g (x) = s i n (4 x + \frac{2 π}{3})$ 的图象，只需要将 $f (x) = c o s^{2} 2 x - s i n^{2} 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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6. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = \frac{1}{3} f (x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = 1 - | 2 x - 1 |$ .若对 $\forall x \in [m ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \leq \frac{2}{81}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{10}{3} ， + \infty)$ B、 $[\frac{11}{3} ， + \infty)$ C、 $[\frac{13}{3} ， + \infty)$ D、 $[\frac{14}{3} + \infty)$

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7. 如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（）

A、23 条 B、24 条 C、25条 D、26 条

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8. 当 $x > 1$ 时， $(4 k - 1 - l n x) x < l n x - x + 3$ 恒成立，则整数 $k$ 的最大值为（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 = 0}$ ， $B = {x | m x - 1 = 0}$ ，全集 $U = R$ ，若 $A ∪ (∁_{U} B) = R$ ，则实数 $m$ 的集合为 ${\frac{1}{2} ， - \frac{1}{3}}$ B、命题 $p ： \exists x \in [- 2 ， 1]$ ， $x^{2} + x - m \leq 0$ 成立的充要条件是 $m \geq 2$ C、设 $a ， b \in R$ ，则“ $a b + 1 \neq a + b$ ”的充要条件是“ $a ， b$ 都不为 $1$ ” D、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{1}{a b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} + 2$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{a x - a + 1}{x + 2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， - 2) ∪ (- 2 ， + \infty)$ B、当函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 2 ， 3)$ 成中心对称时， $a = \frac{3}{2}$ C、当 $a < \frac{1}{3}$ 时， $f (x)$ 在 $(2 ， + ∞)$ 上单调递减 D、设定义域为 $R$ 的函数 $g (x)$ 关于 $(- 2 ， 2)$ 中心对称，若 $a = 2$ ，且 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象共有2022个交点，记为 $A_{i} (x_{i} ， y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，…，2022），则 $(x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) +$ $⋯ + (x_{2022} + y_{2022})$ 的值为0

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11. 已知 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (\bar{B} A) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{B} | \bar{A}) = \frac{3}{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (\bar{B} | A) = \frac{2}{3}$ B、 $P (\bar{B} \bar{A}) = \frac{1}{4}$ C、 $P (\bar{B}) = \frac{2}{3}$ D、 $P (\bar{A} | B) = \frac{3}{7}$

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12. 已知方程 $x^{3} + a x + b = 0$ ，其中 $a ， b \in R$ .下列条件中使得该三次方程有且仅有一个实根的是（）

A、 $a = 1 ， b = 2$ B、 $a = - 3 ， b = 2$ C、 $a > 1 ， b = - 3$ D、 $a = - 3 ， b > 2$

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三、填空题

13. 如果函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (0 < φ < 2 π)$ 是奇函数，则 $φ$ 的值为.

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14. 抽样表明，某地区新生儿体重 $X$ 近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ .假设随机抽取 $r$ 个新生儿体检，记 $ξ$ 表示抽取的 $r$ 个新生儿体重在 $(μ - 3 σ ， μ + 3 σ)$ 以外的个数.若 $ξ$ 的数学期望 $E (ξ) < 0.05$ ，则 $r$ 的最大值是.（ $P (- 3 σ \leq P \leq 3 σ) = 99.7 %$ ）

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15. 函数 $f (x) = \frac{6}{e^{x} + 1} + l g (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ 的极大值为 $M$ ，极小值为 $N$ ，则 $M + N =$ .

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16. 已知 $m$ 、 $n$ 为实数， $f (x) = e^{x} - m x + n - 1$ ，若 $f (x) \geq 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，则 $\frac{n - m}{m}$ 的最小值为 .

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四、解答题

17. 已知 ${(x - m)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是-35，

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7}$ 的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + s i n (x + \frac{π}{4}) s i n (x - \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $x \in [0 ， π]$ ，求出 $f (x)$ 的单调递减区间.

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19. 袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量 $ξ$ 为此时已摸球的次数，求：

(1)、 $P (ξ = 2)$ 的值；

(2)、随机变量 $ξ$ 的概率分布列和数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) + k x$ 为偶函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、解关于 $m$ 的不等式 $f (2 m + 1) > f (m - 1)$ ；

(3)、设 $g (x) = l o g_{2} (a \cdot 2^{x} + a) (a \neq 0)$ ，若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图象有2个公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按 $[0 ， 20)$ ， $[20 ， 40)$ ， $[40 ， 60)$ ， $[60 ， 80)$ ， $[80 ， 100]$ 分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
参考公式： $χ^{2}$ $= \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ (其中 $n = a + b + c + d$ 为样本容量)
参考数据：
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
$k_{0}$
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024

(1)、填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据列联表及 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计

(2)、为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率 $p$ ；
（ii）以（i）中确定的概率 $p$ 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记 $n$ 个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量 $X$ .试验后统计数据显示，当 $X = 90$ 时， $P (X)$ 取最大值，求参加人体接种试验的人数 $n$ 及 $E (X)$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x ， g (x) = x^{2} - 1$ .

(1)、求证：当 $a \geq \frac{1}{2}$ 时， $| f (x) | \leq a | g (x) |$ ；

(2)、已知函数 $h (x) = | f (x) | - b$ 有3个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，
（i）求证： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > \frac{2}{e^{2}}$ ；
（ii）求证： $\sqrt{1 + 2 b} - \sqrt{1 - 2 b} < x_{3} - x_{2} < b e (e = 2.71828 ⋯$ 是自然对数的底数).

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$P (χ^{2} \geq k_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.100	0.050	0.025
$k_{0}$	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

抗体	指标值		合计
抗体	小于60	不小于60	合计
有抗体
没有抗体
合计