湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期数学8月联考试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 2^{x} > 4} ， N = {x | x^{2} < 9}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 3}$ B、 ${x | x > 2}$ C、 ${x | x < 3}$ D、 ${x | - 3 < x < 2}$

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2. 已知复数 $z = (a - i) (- 2 + i)$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、-2

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3. $s i n \frac{π}{8} c o s \frac{5 π}{8} + s i n \frac{3 π}{8} c o s \frac{7 π}{8} =$ （）

A、1 B、-1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（）

A、36 B、 $12 \sqrt{10} + 20$ C、 $12 \sqrt{13} + 20$ D、48

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5. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $F$ 是 $A E$ 的中点，则 $\vec{C F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A D} - \frac{3}{4} \vec{A B}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{A D} - \frac{3}{4} \vec{A B}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A B}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A B}$

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6. 高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义： $a ↑ b = \underset{b 个 a}{\underset{︸}{a \cdot a ⋯ ⋯ a}} = a^{b}$ ， $a ↑ ↑ b = \underset{b 个 a}{\underset{︸}{a ↑ a ↑ a ↑ ⋯ ↑ a}}$ （从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数 $T$ 约为 $1 0^{82}$ ，则下列各数中与 $\frac{4 ↑ ↑ 3}{T}$ 最接近的是（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3$ ）

A、 $1 0^{61}$ B、 $1 0^{64}$ C、 $1 0^{71}$ D、 $1 0^{74}$

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7. 已知直线 $l$ 是曲线 $y = l n x$ 与曲线 $y = x^{2} + x$ 的一条公切线，直线 $l$ 与曲线 $y = x^{2} + x$ 相切于点 $(a ， a^{2} + a)$ ，则 $a$ 满足的关系式为（）

A、 $a^{2} + 1 - l n (2 a + 1) = 0$ B、 $a^{2} + 1 + l n (2 a + 1) = 0$ C、 $a^{2} - 1 - l n (2 a + 1) = 0$ D、 $a^{2} - 1 + l n (2 a + 1) = 0$

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ P A C = ∠ P A B$ ， $A C = 2 A B = 4$ ， $P A = P B = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、22π B、26π C、 $\frac{64 π}{3}$ D、 $\frac{68 π}{3}$

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二、多选题

9. 集成电路产业是信息产业发展的核心，是支撑经济社会和保障国家信息安全的战略性，基础性和先导性产业.下表统计了2015-2021年我国集成电路市场规模及同比增长情况，关于2015-2021年我国集成电路市场规模的下列说法正确的是（）

A、集成电路市场规模逐年增长 B、同比增长率的平均数不超过20% C、集成电路市场规模同比增长率最高的年份是2017年 D、集成电路市场规模的中位数小于极差

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $A = 2$ B、 $ω = 2$ C、 $φ = \frac{π}{6}$ D、 $f (ω φ) = - \sqrt{3}$

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11. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是双曲线 $C$ 右支上的一点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 \sqrt{6} x$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的半径为 $2$ C、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 12$ D、点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{24}{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c)$ 的三个零点 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a < b < c$ ， ${\begin{array}{l} a + b + c = 9 \\ a b + b c + c a = 24 \end{array} ，$ 则（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $2 < b < 4$ C、 $4 < c < 5$ D、 $(b - 4) (c - 4)$ 的最小值是 $- \frac{9}{4}$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = 2^{x} + a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 是偶函数，则 $a =$ .

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14. $(x^{2} - \frac{3}{x}) {(x + 2)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数是.

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15. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} = \frac{2 n}{3 n - 49}$ ，则使得 $S_{n}$ 取得最小值时 $n$ 的值为.

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $H$ ，抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，过点 $H$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点， $\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{x_{2}}{x_{1}} =$ ；若 $A B$ 的中点到准线 $l$ 的距离为 $\frac{25}{4}$ ，则 $p =$ .

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四、解答题

17. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} (a_{n + 1} - 3) = a_{n} (a_{n} + 3) (n \in N^{*})$ ，且 $S_{3} = 18$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图， $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形，线段 $A E$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $B D = 1$ .

(1)、求 $s i n ∠ A D B$ ；

(2)、若 $A D = 3 D E$ ，求 $B E$ 长.

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19. 如图，在四棱锥 $B - A C F M$ 中，四边形 $A C F M$ 为直角梯形， $F M ∥ A C ， ∠ A C F = 9 0^{∘}$ ，平面 $A C F M ⊥$ 平面 $A B C ， B C = C F = 1 ， A C = \sqrt{3} ， ∠ A B C = 6 0^{∘}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ A M$ .

(2)、若四棱锥 $B - A C F M$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求平面 $M A B$ 与平面 $F C B$ 所成的锐二面角的余弦值.

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20. 为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部，发展改革委联合发布了《财政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策有关要求.为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表：

愿意购买新能源汽车
不愿意购买新能源汽车
购买时补贴大于1.5万
65
35
购买时补贴不大于1.5万
45
55
附：
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、能否有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？

(2)、若从购买时补贴大于1.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人中随机抽取3人调查家族收入情况，记 $X$ 表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知定点 $F_{1} (- 1 ， 0) ， F_{2} (1 ， 0)$ ，动点 $M$ 满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 2 \sqrt{2}$ .记点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、经过 $F_{1}$ 且不垂直于坐标轴的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $x$ 轴上点 $P$ 满足 $| P A | = | P B |$ ，证明： $\frac{| A B |}{| F_{1} P |}$ 为定值，并求出该值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{a + l n x}{x}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的最大值为1，求实数 $a$ 的值；

(2)、证明：当 $m > n \geq 1$ 时， $n l n m - m l n n < 2 (m - n) + n e^{m} - m e^{n}$ .

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	愿意购买新能源汽车	不愿意购买新能源汽车
购买时补贴大于1.5万	65	35
购买时补贴不大于1.5万	45	55

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828