浙江省宁波市镇海区蛟川书院2022-2023学年九年级上学期返校考数学试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，共40分。）

1. 下列反比例函数图象的一个分支在第三象限的是（）

A、 $y = \frac{3 - π}{x}$ B、 $y = \frac{2^{- 1}}{x}$ C、 $y = \frac{k}{x}$ D、 $y = - \frac{3}{x}$

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2. 将二次函数 $y = x^{2} + 4 x + 3$ 化成顶点式，变形正确的是（）

A、 $y = (x - 2)^{2} - 1$ B、 $y = (x + 1) (x + 3)$ C、 $y = (x - 2)^{2} + 1$ D、 $y = (x + 2)^{2} - 1$

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3. 若菱形的周长为 $100 c m$ ，有一条对角线为 $48 c m$ ，则菱形的面积为（）

A、 $336 c m^{2}$ B、 $480 c m^{2}$ C、 $300 c m^{2}$ D、 $168 c m^{2}$

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4. 二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c (a \neq 0)$ 的图象过点 $(3 ， 0)$ ，方程 $a x^{2} - 2 a x + c = 0$ 的解为（）

A、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = - 1$ B、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 1$

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5. 已知 $A (\sqrt{2} ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ ， $C (- \sqrt{2} ， y_{3})$ 是二次函数 $y = 3 (x - 1)^{2} + k$ 图象上三点，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y 2 > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$

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6. 如果二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，那么（）

A、 $a < 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ B、 $a > 0$ ， $b < 0$ ， $c > 0$ C、 $a > 0$ ， $b < 0$ ， $c < 0$ D、 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c < 0$

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7. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + m (m > 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，以 $C D$ 为边作矩形ABCD，点 $A$ 在 $x$ 轴上．双曲线 $y = - \frac{6}{x}$ 经过点 $B$ ，与直线 $C D$ 交于点 $E$ ，则点 $E$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{15}{4} ， - \frac{8}{5})$ B、 $(4 ， - \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{9}{2} ， - \frac{4}{3})$ D、 $(6 ， - 1)$

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8. 二次函数 $y = a (x - 4)^{2} - 4 (a \neq 0)$ 的图象在 $2 < x < 3$ 这一段位于 $x$ 轴的下方，在 $6 < x < 7$ 这一段位于 $x$ 轴的上方，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ ： $D C = 3$ ： $1$ ， $G$ 是 $A D$ 的中点， $B G$ 延长线交 $A C$ 于 $E$ ，那么 $B G$ ： $G E =$ （）

A、3：1 B、4：1 C、6：1 D、7：1

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = a$ ， $B C = b (a > b) .$ 在 $△ A B C$ 内依次作 $∠ C B D = ∠ A$ ， $∠ D C E = ∠ C B D$ ， $∠ E D F = ∠ D C E$ ，则 $E F$ 等于（）

A、 $\frac{b^{2}}{a^{2}}$ B、 $\frac{a^{3}}{b^{2}}$ C、 $\frac{b^{4}}{a^{3}}$ D、 $\frac{a^{4}}{b^{3}}$

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二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 如图，已知 $A B / / C D / / E F$ ，若 $A C = 6$ ， $C E = 3$ ， $D F = 2$ ，则 $B D$ 的长为．

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12. 将二次函数 $y = 2 (x + 1)^{2}$ 的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，对角线 $A C$ 的长为5，作 $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $M$ ，连接 $A M$ ，则 $△ A B M$ 的周长为．

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14. 如图，直线 $y = x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限内交于点 $A$ ，过 $A$ 点的另一直线 $y = m x + n$ 交双曲线于第三象限内的点 $B$ ，则不等式 $m x + n < \frac{k}{x}$ 的解集是．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B O C$ 和正方形 $D O F E$ 的顶点 $B$ ， $F$ 在 $x$ 轴上，顶点 $C$ ， $D$ 在 $y$ 轴上，且 $S_{△ A D F} = 4$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $E$ ，则 $k =$ ．

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别落在边 $A D$ 、 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 上，则 $D H$ 的长为．

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17. 如图，已知点 $A (0 ， 2)$ ， $B (4 ， 0)$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴上， $C D ⊥ x$ 轴，交线段 $A B$ 于点 $D$ ，且点 $D$ 不与 $A$ ， $B$ 两点重合，将 $△ A B O$ 沿 $C D$ 折叠，使点 $B$ 落在 $x$ 轴上的点 $E$ 处．设点 $C$ 的横坐标为 $x$ ，则当 $△ A D E$ 为直角三角形时， $x$ 的值为．

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三、解答题（本大题共3小题，共32分。骤）

18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $P$ 、 $D$ 分别是 $B C$ 、 $A C$ 边上的点，且 $∠ A P D = ∠ B$ ．

(1)、求证： $A C \cdot C D = C P \cdot B P$ ；

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，当 $P D / / A B$ 时，求 $B P$ 的长．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $A B ⊥ x$ 轴，垂足为 $A .$ 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $C$ ，交 $A B$ 于点 $D .$ 已知 $A B = 4$ ， $B C = \frac{5}{2}$ ．

(1)、若 $O A = 4$ ，求 $k$ 的值；

(2)、连接 $O C$ ，若 $B D = B C$ ，求 $O C$ 的长．

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20. 如图，抛物线经过点 $A (4 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ 、 $C (0 ， - 2)$ 三点．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、P是抛物线上的一个动点，过 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴，垂足为 $M$ ，是否存在点 $P$ ，使得以 $A$ 、 $P$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $△ O A C$ 相似？若存在，请求出符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、在直线 $A C$ 上方的抛物线是有一点 $D$ ，使得 $△ D C A$ 的面积最大，求出点 $D$ 的坐标．

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