湖北省九师联盟2022-2023学年高三上学期数学8月开学起点考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x - 5 < 0}$ ， $B = {y | y = l n (x^{2} + 1)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 5)$ B、 $[0 ， 5)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 1)$

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2. 已知复数 $z = \frac{3 + i}{1 - i}$ ，则 $| \bar{z} + 3 i | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{10}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， - 1)$ D、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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4. 在 $Δ A B C$ 中，“ $\tan A \tan B < 1$ ”是“ $Δ A B C$ 为钝角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{1} a_{2} a_{3} = 27 ， a_{4} - a_{2} = - \frac{8}{3}$ ，则 $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ 的最大值为（）

A、9 B、8 C、3 D、27

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $M ， N$ 两点，且 $△ M N F_{2}$ 是以 $∠ M N F_{2}$ 为顶角的等腰直角三角形，若 $C$ 的离心率为 $e$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $5 + 3 \sqrt{3}$ B、 $5 + 3 \sqrt{2}$ C、 $5 + 2 \sqrt{2}$ D、 $5 + 2 \sqrt{3}$

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7. 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）

A、支出最高值与支出最低值的比是8：1 B、4至6月份的平均收入为50万元 C、利润最高的月份是2月份 D、2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同

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8. 若不等式 $e^{x - 1} - m x - 2 n - 3 ⩾ 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，其中 $m \neq 0$ ，则 $\frac{n}{m}$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{l n 3 e}{2}$ B、 $- l n 3 e$ C、 $l n 3 e$ D、 $\frac{l n 3 e}{2}$

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9. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、丙与丁相互独立 C、甲与丁相互独立 D、乙与丙相互独立

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二、多选题

10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 6 ， A D = 2$ ，则（）

A、平面 $A B_{1} C_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} B C D_{1}$ B、直线 $A B_{1}$ 与 $C D_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{2}$ C、A到平面BDD₁B₁的距离为 $3 \sqrt{2}$ D、直线 $A_{1} B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = c o s x [l n (2 π - x) + l n x]$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 C、 $f (π + x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 有4个零点

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12. 已知抛物线 $C ： x^{2} = - 8 y$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，分别过 $A ， B$ 两点作 $C$ 的切线 $l_{1} ， l_{2}$ ，且 $l_{1} ， l_{2}$ 相交于点 $P$ ，则（）

A、 $| P F | = 4$ B、点 $P$ 在直线 $y = 2$ 上 C、 $△ P A B$ 为直角三角形 D、 $△ P A B$ 面积的最小值为16

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三、填空题

13. 已知圆 $C ： (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ ，则过原点且与 $C$ 相切的直线方程为.

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14. 五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为.

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15. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，三条棱 $P A ， P B ， P C$ 两两垂直，且 $P A = P B = P C = 2$ ，则平面 $A B C$ 截该三棱锥的外接球所得截面圆的面积为.

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16. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数， $f (x - 2)$ 为奇函数， $f (2 x - 1)$ 为偶函数，则 $\sum_{i = 0}^{16} f (i) =$ .

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n} ， a_{2} + S_{3} = 20 ， a_{5} = 14$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .并证明 $T_{n} < \frac{1}{6}$ .

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18. 已知 $△ A B C$ 的角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $s i n A (c c o s B + b c o s C) - c s i n B = c s i n C + b s i n B$ ，

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交线段 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = 2 ， B D = 2 C D$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 某校为了缓解高三学子复习压力，举行“趣味数学”闯关活动，规定每人从10道题中至少随机抽3道回答，至少答对2题即可闯过第一关，某班有5位同学参加闯关活动，假设每位同学都能答对10道题中的6道题，且每位同学能否闯过第一关相互独立.

(1)、求 $B$ 同学闯过第一关的概率；

(2)、求这5位同学闯过第一关的人数 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 如图1，四边形 $A B C D$ 是梯形， $A B / / C D ， A D = D C = C B = \frac{1}{2} A B = 4 ， M$ 是 $A B$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $D M$ 折起至 $△ A^{^{'}} D M$ ，如图2，点 $N$ 在线段 $A^{'} C$ 上.

(1)、若 $N$ 是 $A^{'} C$ 的中点，求证：平面 $D N M ⊥$ 平面 $A^{'} B C$ ；

(2)、若 $A^{^{'}} C = 2 \sqrt{6}$ ，平面 $D N M$ 与平面 $C D M$ 夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{A^{^{'}} N}{N C}$ .

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21. 已知 $A (- 2 \sqrt{2} ， 0) ， B (2 \sqrt{2} ， 0)$ ，直线 $P A ， P B$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M ， N$ 两点， $O$ 为坐标原点，若直线 $O M ， O N$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，证明： $△ M O N$ 的面积为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a^{2} + 2) x + a l n x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \geq e^{2}$ 时， $f (x) + (a^{2} - 3 a + 2) x + (a^{2} - a) l n x \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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