湖北省荆荆宜三校2022-2023学年高三上学期数学起点考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A ， B$ 为全集 $U$ 的子集，若 $∁_{U} A \subseteq ∁_{U} B$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、A B、 $B$ C、U D、 $\emptyset$

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2. 下列函数中，既是奇函数，又在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = l n | x - 1 |$ B、 $y = x - \frac{1}{x}$ C、 $y = \frac{c o s x}{x}$ D、 $y = x^{3} - 3 x$

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3. 已知二项式 ${(3 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中 $x$ 的系数为（）

A、-405 B、405 C、-81 D、81

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4. 在 $△ A B C$ 中，“ $s i n A > c o s B$ ”是“ $△ A B C$ 是锐角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 设函数 $f (x) = m x^{2} - m x - 1$ ，命题“ $\exists x \in [1 ， 3] ， f (x) \leq - m + 2$ ”是假命题，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- ∞ ， \frac{3}{7}]$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $(\frac{3}{7} ， + \infty)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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6. 一种药在病人血液中的量不少于 $1500 m g$ 才有效，而低于 $500 m g$ 病人就有危险．现给某病人注射了这种药 $2500 m g$ ，如果药在血液中以每小时 $20 %$ 的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ，结果精确到 $0.1 h$ ）

A、2.3小时 B、3.5小时 C、5.6小时 D、8.8小时

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7. 甲､乙､丙三人独立解答同一份试卷，试卷共有5题，每人都至少正确解答其中3题，则下列说法一定正确的是（）

A、至少有2题有多于一人正确解答 B、至少有1题三人都正确解答 C、至少有1题三人都无法正确解答 D、至多有1题无人正确解答

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8. 已知 $a ， b ， c$ 均为不等于1的正实数，且 $l n c = a l n b ， l n a = b l n c$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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二、多选题

9. 已知 $2^{x} = 3 ， 3^{y} = 8$ ，则（）

A、 $x > \frac{3}{2}$ B、 $y < \frac{3}{2}$ C、 $x y = 3$ D、 $x + y > 2 \sqrt{3}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 是奇函数， $f (x + 1)$ 是偶函数，并且当 $x \in (0 ， 1] ， f (x) = 1 - 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 3 ， - 2)$ 上为减函数 B、 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ 上 $f (x) < 0$ C、 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上为增函数 D、 $f (x)$ 关于 $x = 3$ 对称

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11. 甲乙两人进行围棋比赛，共比赛 $2 n (n \in N^{*})$ 局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ .如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为 $P (n)$ ，则（）

A、 $P (2) = \frac{5}{16}$ B、 $P (3) = \frac{11}{16}$ C、 $P (n) = \frac{1}{2} (1 - \frac{C_{2 n}^{n}}{2^{2 n}})$ D、 $P (n)$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$

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12. 关于函数 $f (x) = a e^{x} + s i n x ， x \in (- π ， π)$ ，下列结论中正确的有（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴相切 B、若 $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 上有且只有一个零点，则满足条件的 $a$ 的值有3个 C、存在 $a$ ，使得 $f (x)$ 存在三个极值点 D、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 存在唯一极小值点 $x_{0}$ ，且 $- 1 < f (x_{0}) < 0$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = s i n x \cdot l n (x + \sqrt{a + x^{2}}) (a > 0)$ 为偶函数，则 $a =$ .

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14. 将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种.（用数字作答）

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15. 若函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x - a x^{2})$ 在区间 $(1 ， \frac{3}{2})$ 上为减函数，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知正数 $a ， b$ 满足 $a + 3 b + \frac{3}{a} + \frac{4}{b} = 18$ ，则 $a + 3 b$ 的最大值是.

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四、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 分别是下表第一､二､三行中的数，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 中的任何两个数都不在下表的同一列， ${b_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = b_{3} - 2 b_{1} ， S_{7} = 7 a_{3}$ .

第一列
第二列
第三列
第一行
1
5
2
第二行
4
3
10
第三行
9
8
20

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = [l g b_{n}]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[l g 2] = 0 ， [l g 98] = 1$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前80项的和 $T_{80}$ .

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18. 如图①，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C ， A D = B C = C D = 2 ， A B = 4 ， E$ 为 $A B$ 的中点，以 $D E$ 为折痕把 $△ A D E$ 折起，连接 $A B ， A C$ ，得到如图②的几何体.

(1)、证明： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、若四棱锥 $A - B C D E$ 的体积为2，求平面 $A C E$ 与平面 $A D E$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $A D$ 平分 $∠ B A C$ .

(1)、若 $c o s ∠ A C B = \frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求 $c o s ∠ B A C$ ；

(2)、若 $A D = A C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ，求 $B C$ 的长.

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20. 近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：

$A$ 大学
$B$ 大学
$C$ 大学
$D$ 大学
当年毕业人数 $x$ （千人）
3
4
5
6
自主创业人数 $y$ （千人）
0.1
0.2
0.4
0.5
参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、已知 $y$ 与 $x$ 具有较强的线性相关关系，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ；

(2)、假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴．
（ⅰ）若该市 $E$ 大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给 $E$ 大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；
（ⅱ）若 $A$ 大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为 $p$ ， $2 p - 1 (\frac{1}{2} < p < 1)$ ，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求 $p$ 的取值范围．

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21. 设 $A$ ， $B$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左、右顶点，直线 $l$ 过右焦点 $F$ 且与双曲线C的右支交于 $M$ ， $N$ 两点，当直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴时， $△ A M N$ 为等腰直角三角形．

(1)、求双曲线 $C$ 的离心率；

(2)、已知直线 $A M$ ， $A N$ 分别交直线 $x = \frac{a}{2}$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，当直线 $l$ 的倾斜角变化时，以 $P Q$ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = a x l n x + 1 ， g (x) = (a - 1) x^{2} - 3 e^{x - 1} + x l n x + 1 ， a \in R$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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	第一列	第二列	第三列
第一行	1	5	2
第二行	4	3	10
第三行	9	8	20

	$A$ 大学	$B$ 大学	$C$ 大学	$D$ 大学
当年毕业人数 $x$ （千人）	3	4	5	6
自主创业人数 $y$ （千人）	0.1	0.2	0.4	0.5