黑龙江省龙西北八校联合体2022-2023学年高三上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2 ， 4} ， B = {x | | x - 1 | \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${- 1 ， 4}$

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2. 下列关于幕函数 $y = x^{α}$ 的命题中正确的有（）

A、幂函数图象都通过点 $(0 ， 0) ， (1 ， 1)$ B、当幂指数 $α = 1 ， 3 ， - 1$ 时，幂函数 $y = x^{α}$ 的图象都经过第一、三象限 C、当幂指数 $α = 1 ， 3 ， - 1$ 时，幂函数 $y = x^{α}$ 是增函数 D、若 $α < 0$ ，则函数图象不通过点 $(0 ， 0) ， (1 ， 1)$

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3. “ $a^{2} + (b - 1)^{2} = 0$ ”是“ $a (b - 1) = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知f(x)＝ $\frac{1}{x}$ －lnx在区间(1，2)内有一个零点x₀ ，若用二分法求x₀的近似值(精确度0.1)，则需要将区间等分的次数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 函数 $f (x) = l n (x + 2) + l n (4 - x)$ 的单调递减区间是（）．

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， 4)$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $(- 2 ， 1)$

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6. 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y₁与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y₂与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y₁ ， y₂分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）

A、5 km处 B、4 km处 C、3 km处 D、2 km处

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7. 小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点 $A$ 出发，沿箭头方向经过点 $B$ 跑到点 $C$ ，共用时 $30 s$ ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为 $t (s)$ ，他与教练间的距离为 $y (m)$ ，表示 $y$ 与 $t$ 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）

A、点 $M$ B、点 $N$ C、点 $P$ D、点 $Q$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为R的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} ， 0 \leq x \leq 2 \\ l o g_{4} x ， x > 2 \end{array}$ ，如果关于x的方程 $m [f (x)]^{2} + n f (x) + 1 = 0$ 恰有7个不同的实数根，那么 $m - n$ 的值等于（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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二、多选题

9. 已知偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是以2为周期的周期函数 B、函数 $f (x)$ 是以4为周期的周期函数 C、函数 $f (x - 3)$ 为偶函数 D、函数 $f (x - 1)$ 为奇函数

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， 0 \leq x \leq 1 \\ | l n (x - 1) | ， x ⟩ 1 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k x - 2$ 有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、4

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11. 已知实数x､y､z满足 $z \cdot l n x = z \cdot e^{y} = 1$ .则下列关系式中可能成立的是（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $z > x > y$ D、 $z > y > x$

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12. 下列关于函数 $f (x) = (3 - x^{2}) e^{x}$ 的结论中，正确的是（）

A、 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (2 Δ x) - f (0)}{Δ x} = 6$ B、函数 $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值 C、当 $0 \leq a < 2 e$ 时，方程 $f (x) = a$ 有且只有三个实根 D、若 $x \in (- \infty ， a]$ 时， $f {(x)}_{m i n} = - \frac{6}{e^{3}}$ ，则 $a$ 的最小值为-3

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三、填空题

13. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} - \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域是

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14. 写出一个同时满足下列条件的非常数函数．
①在 $[0 ， + \infty)$ 单调递减 ②值域 $(0 ， 1]$ ③ $f (x) = f (- x)$

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15. 已知过点 $A (a ， 0)$ 作曲线 $C ： y = x \cdot e^{x}$ 的切线有且仅有两条，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{1}{e^{x} + 1}$ ，若不等式 $f (a x) + f (- x^{2} - \frac{x}{2}) > 1$ 对 $\forall x \in (1 ， 2)$ 恒成立，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 给定函数 $f (x)$ ，若对于定义域中的任意x，都有 $f (x) \geq x$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 为“爬坡函数”.

(1)、证明：函数 $f (x) = x^{2} + 3 x + 1$ 是“爬坡函数”；

(2)、若函数 $f (x) = 4^{x} + m \cdot 2^{x + 1} + x + 2 m^{2} - 4$ 是“爬坡函数”，求实数m的取值范围；

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18. 使不等式 $x^{2} + (k - 2) x + \frac{k}{4} > 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立的 $k$ 的取值范围记为集合 $A$ ，集合 $B = {x | 2 x^{2} - (m + 1) x + m + 3 ⟩ 0}$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、若 $“ x \in A ”$ 是 $“ x \in B ”$ 的充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ ， $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = 4 x - 3$ .

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的单调区间和最值.

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20. 已知函数 $f (x) = a^{x - a} + 1$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )过点 $(\frac{1}{2} ， 2)$ .

(1)、求实数 $a$ ；

(2)、若函数 $g (x) = f (x + \frac{1}{2}) - \frac{3}{2}$ ，求函数 $g (x)$ 的解析式；

(3)、已知命题 $p$ ：“任意 $x \in R$ 时， $g (a x^{2} + a x + 2) \leq 0$ ”，若命题 $\neg p$ 是假命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = {(\log_{2} x)}^{2} - 2 \log_{2} x + a^{2}$ ．

(1)、若对任意 $x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $m > 1$ ，若对任意 $x \in [2, + \infty)$ ，不等式 $f (m (2^{x} - 2^{- x})) < f (4^{x} + 4^{- x} - 1)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、设函数 $g (x) = x^{a x} - f (x) - 1$ ，若不等式 $g (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数a的值．

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