黑龙江哈尔滨市2022-2023学年高三上学期数学学业质量监测试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq 2}$ ， $B = {x | x \in N}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${1 ， 2}$ D、{1}

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2. 已知不等式 $a x^{2} + b x - 2 < 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则不等式 $a x^{2} + (b - 1) x - 3 > 0$ 的解集为（）

A、R B、 $\emptyset$ C、 ${x | - 1 < x < 3}$ D、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 3}$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq 0 \\ \frac{1}{x} - 100 ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{100})) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{100}$ D、1

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4. 在 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2} x)}^{8}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数为（）

A、 $\frac{45}{4}$ B、 $- \frac{45}{8}$ C、 $\frac{35}{8}$ D、7

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5. 小张接到5项工作，要在下周一、周二、周三、周四这4天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（）

A、180种 B、480种 C、90种 D、120种

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6. 求值 $l g 4 + 2 l g 5 + l o g_{2} 8 + 8^{\frac{2}{3}} =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、1

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7. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $a + 3 b = 5$ ，则 $\frac{(a + 1) (3 b + 1)}{\sqrt{a b}}$ 的最小值为（）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、2 C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 设 $a = s i n 1$ ，则（）

A、 $a^{2} < 2^{a} < l o g_{0.5} a$ B、 $l o g_{0.5} a < 2^{a} < a^{2}$ C、 $l o g_{0.5} a < a^{2} < 2^{a}$ D、 $a^{2} < l o g_{0.5} a < 2^{a}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{2})}^{| x |} + b$ 的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（）

A、 $a + b = 0$ B、若 $f (x) = f (y)$ ，且 $x \neq y$ ，则 $x + y = 0$ C、若 $x < y < 0$ ，则 $f (x) < f (y)$ D、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 2)$

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10. 已知函数 $y = f (x - 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且对于 $y = f (x) (x \in R)$ ，当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 恒成立．若 $f (2 a x) < f (2 x^{2} + 1)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则实数a的范围可以是下面选项中的（）

A、 $(- \sqrt{2} ， 1)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(0 ， \sqrt{2})$ D、 $(\sqrt{2} ， 2)$

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11. 若过点 $(1 ， a)$ 可以作出曲线 $y = (x - 1) e^{x}$ 的切线l，且l最多有n条， $n \in N^{*}$ ，则（）

A、 $a \leq 0$ B、当 $n = 2$ 时，a值唯一 C、当 $n = 1$ 时， $a < - \frac{4}{e}$ D、na的值可以取到﹣4

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12. 若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $3 e^{3 x} - a l n x \geq a l n a$ 恒成立，则实数a可能为（）

A、 $\sqrt[3]{e}$ B、 $e$ C、 $3 e$ D、 $e^{3}$

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ， $x > t a n x$ ”的否定是．

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14. 某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X服从正态分布 $N (120 ， σ^{2})$ ，若 $P (100 \leq X \leq 120) = 0.495$ ，则成绩在140分以上的大约为人．

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15. 盒子中有大小形状相同的7个小球，其中有4个白球，3个黑球，先随机从盒子中取出两个小球，再从该盒中取出一个小球，则最后取出的小球为白球的概率是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \leq 0 \\ \frac{x}{e^{x - 1}} ， x > 0 \end{array}$ ，若 $g (x) = f (x) - a$ 有2个零点，则实数a＝．若关于x的方程 $f^{2} (x) - f (x) + a - 1 = 0$ 有6个不同实数根，则实数a的取值范围为．

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四、解答题

17. 某公司为了解用户对公司618活动的满意度做了一次随机调查，共随机选取了100位用户对其活动进行评分．用户对活动评分情况如表所示（已知满分100分，选取的100名用户的评分分值在区间 $[70 ， 100)$ 内）．
选取的100名用户中女性用户评分情况：
得分
$[70 ， 75)$
$[75 ， 80)$
$[80 ， 85)$
$[85 ， 90)$
$[90 ， 95)$
$[95 ， 100)$
女性人数
6
10
18
14
9
7
选取的100名用户中男性用户评分情况：
得分
$[70 ， 75)$
$[75 ， 80)$
$[80 ， 85)$
$[85 ， 90)$
$[90 ， 95)$
$[95 ， 100)$
男性人数
5
9
10
3
5
4
参考公式与数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
a
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$x_{a}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、分别估计用户对活动评分分值在 $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100)$ 的概率；

(2)、若用户评分分值不低于80分，则定位用户对活动满意．填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，试根据小概率值 $a = 0.15$ 的独立性检验，能否认为用户对活动满意与否与性别有关？

女性用户
男性用户
合计
对活动满意
对活动不满意
合计
100

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18. 设函数 $f (x) = (x^{2} + 3 x + 1) e^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

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19. 甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{4}$ ，丙获胜的概率为 $\frac{1}{4}$ ，各局比赛结果相互独立．

(1)、求甲在 $3$ 局以内（含3局）赢得比赛的概率；

(2)、记 $X$ 为比赛决出胜负时的总局数，求 $X$ 的分布列和均值（数学期望）．

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20. 某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x（单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件）．对近5个月的月销售单价 $x_{i}$ 和月销售量 $y_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ 的数据进行了统计，得到如下表数据：
月销售单价 $x_{i}$ （元/件）
9
9.5
10
10.5
11
月销售量 $y_{i}$ （万件）
15
14
12
10
9
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、建立y关于x的经验回归方程；

(2)、该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为8元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件．则认为所得到的经验回归方程是理想的，试问：（1）中得到的经验回归方程是否理想？

(3)、根据（1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x为何值时（销售单价不超过12元/件），公司月利润z的预测值最大？

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21. 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到3450亿元，较2018年约增长14.4%．从全球应用北斗卫星的城市中选取了40个城市进行调研，上图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图，求产值小于600万元的调研城市个数；

(2)、在上述抽取的40个城市中任取2个，设 $Y$ 为产值不超过600万元的城市个数，求 $Y$ 的分布列及期望和方差．

(3)、把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有3个城市的产值超过605万元的概率．

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22. 已知函数 $f (x) = [x^{2} + (a - 2) x + 2 - a] e^{x - 1}$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 单调性；

(2)、当 $a = 0$ 时，若函数 $g (x) = f (x) - m (x - 1) - 1$ 在 $[0 ， + ∞)$ 有两个不同零点，求实数m的取值范围．

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得分	$[70 ， 75)$	$[75 ， 80)$	$[80 ， 85)$	$[85 ， 90)$	$[90 ， 95)$	$[95 ， 100)$
女性人数	6	10	18	14	9	7

	女性用户	男性用户	合计
对活动满意
对活动不满意
合计			100

月销售单价 $x_{i}$ （元/件）	9	9.5	10	10.5	11
月销售量 $y_{i}$ （万件）	15	14	12	10	9

a	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$x_{a}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635