河南省焦作市2022-2023学年高三上学期理数定位考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ， $B = {0 ， 1 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1 ， 3}$ C、 ${0 ， 1 ， 4}$ D、 ${0 ， 3 ， 4}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{3 + 4 i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{2}{25}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 - t ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 6 ， - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t =$ （）

A、11 B、1 C、－1 D、－11

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4. 若直线 $x = 4 y + 7$ 与双曲线 $C$ ： $a x^{2} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线平行；则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、4 D、16

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，若 $a_{1} + a_{3} + a_{8} = 9$ ，则 $a_{1} + a_{4} + a_{5} + a_{6} =$ （）

A、4 B、6 C、12 D、16

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入 $n = 1$ ，则输出 $S$ 的值是（）

A、322 B、161 C、91 D、80

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} = 9$ ， $a_{3} a_{8} = 81 a_{2}$ ，则 $a_{2} a_{6} =$ （）

A、27 B、9 C、±9 D、±27

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8. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = P C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 的中点， $G$ 为 $P D$ 的中点，若 $E G ⊥ A C$ 且 $E G ⊥ P D$ ，则下列结论中不一定正确的是（）

A、 $B C ∥$ 平面 $E F G$ B、 $P A ∥$ 平面 $E F G$ C、 $A C ⊥$ 平面 $E F G$ D、 $P D ⊥$ 平面 $E F G$

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9. 袋中装有大小质地完全相同的3个小球，小球上分别标有数字4，5，6.每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.设事件 $A$ 为“三次记下的号码之和是15”，事件 $B$ 为“三次记下的号码不全相等”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{7}{27}$ D、 $\frac{1}{7}$

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10. 已知函数 $f (x) = l n (\sqrt{9 x^{2} + 1} - 3 x) + x + 1$ ，若 $a$ ， $b \in R$ ， $a + b = 2023$ ，则 $f (b - 2025) + f (a + 2) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{9}{4}$ D、4

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11. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形， $A B$ 和 $C D$ 分别是该圆柱上、下底面的一条直径，若四面体 $A B C D$ 的体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ ，则异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 是 $C$ 上位于第一象限内的一点，若 $C$ 在点 $P$ 处的切线与 $y$ 轴交于 $N$ 点，且 $∠ F P N = 30 °$ ， $O$ 为坐标原点，则直线 $O P$ 的斜率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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二、填空题

13. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且点 $(a ， b)$ 在直线 $x + y = 4$ 上，则 $\frac{4}{a} + \frac{36}{b}$ 的最小值为.

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14. 若直线 $l$ ： $x - \sqrt{3} y + 9 = 0$ 被圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - m = 0$ 截得线段的长为6，则实数 $m$ 的值为.

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15. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{5 π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上有且仅有1个零点，则实数 $ω$ 的取值范围为.

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16. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f (x) e^{x} + f^{'} (x) e^{x} = 2 (x - a)$ ，若 $f (0) = 1$ ，且 $f (x)$ 在 $(1 ， 5)$ 上存在极值点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $5 a = \frac{5 b}{c o s C} + \frac{3 c}{c o s C}$ .

(1)、求 $c o s A$ ；

(2)、若 $c = 2$ ， $s i n C ： s i n B = 1 ： 5$ ，求 $a$ .

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18. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $C C_{1} = 3$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $A D = 1$ ， $C E = 2$ .

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值.

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19. 在“校园安全”知识竞赛中有两道多选题，每道题给出的四个选项中有多个正确选项，全部选对的得10分，选对但不全的得5分，有选错或未作答的得0分.小明参加了这次竞赛，由于准备不充分，他对这两道多选题涉及的知识完全不了解.

(1)、若小明选择每个选项的概率均为 $\frac{1}{2}$ 且互不影响，求他这两道题得分之和为20分的概率；

(2)、若这两道题中一题有2个正确选项，一题有3个正确选项，小明每道题随机选择两个选项，求小明这两题得分之和 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ ，过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 和圆 $O$ 所截得的弦长分别为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 和 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过圆 $O$ 上一点 $P$ （不在坐标轴上）作 $C$ 的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，记 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，直线 $O P$ 的斜率为 $k_{3}$ ，证明： $(k_{1} + k_{2}) k_{3}$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = a x (l n x - 1) + \frac{x^{2}}{2} (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），且不等式 $\frac{a (2 + λ)}{2 x_{1} + λ x_{2}} + 1 > 0$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t + 1 ， \\ y = 3 - t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ s i n^{2} θ = 16 c o s θ$ ，且 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设 $P (8 ， - 4)$ ，求 $| P M | + | P N |$ .

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23. 设函数 $f (x) = 3 | x - 2 | + | x |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 2 x$ 的解集；

(2)、求直线 $y = a$ 与 $f (x)$ 的图象围成的三角形的面积的最大值.

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