河北省邢台市名校联盟2023届高三上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x | x^{2} \leq 16}$ ， $N = {x | \frac{x - 2}{x + 4} \geq 0}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${2 ， 3 ， 4}$ B、 ${x | 2 \leq x \leq 4}$ C、 ${x | 2 \leq x < 4} ∪ {- 4}$ D、 ${x | 2 \leq x < 4}$

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2. 复数 $z (2 + i) = 1 - i$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n^{3}}{3^{n}}$ ，则 $a_{n}$ 取得最大值时n为（）

A、2 B、3 C、4 D、不存在

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4. 2022年国际泳联世锦赛，中国队强势包揽本届世锦赛跳水项目全部13枚金牌，杨健以515.55的总分获男子十米台决赛金牌.若杨健在跳水运动过程中的重心相对于水面的高度h（米）与起跳后的时间t（秒）存在函数关系 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 4.8 t + 10$ ，则他重心入水时的瞬时速度为（）米/秒

A、10.1 B、-10.1 C、14.8 D、-14.8

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5. 如图所示，三棱柱容器的棱 $C C_{1}$ 长为8，且 $C C_{1}$ 到侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 的距离为 $8 \sqrt{2}$ ，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 水平放置，则水面高度为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2} - 8$ D、 $8 - 4 \sqrt{2}$

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6. 过抛物线 C： $y^{2} = 2 p x ， (p > 0)$ 焦点 F 且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线与C交于A、B两点（点 A 在 x轴上方），已知点 $M (- \frac{p}{2} ， 0)$ ，则 $\frac{| A M |}{| B M |} =$ （）

A、 $\frac{6}{5}$ B、4 C、 $\frac{4}{3}$ D、9

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7. 如图所示，梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，且 $A B = 2 A D = 2 C D = 2 C B = 2$ ，点P在线段 $B C$ 上运动，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{13}{16}$ D、 $\frac{13}{4}$

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8. 定义在R上的函数 $f (x)$ ， $f (0) = f^{'} (0) = 1$ .则下列说法不一定成立的是（）

A、 $\exists m > 0$ ，使 $x \in (- m ， m)$ ， $f (x) > 0$ . B、 $\exists m > 0$ ，使 $x \in (- m ， m)$ ， $f^{'} (x) > 0$ . C、 $\exists m > 0$ ，使 $x \in (0 ， m)$ ， $f (x) > 1$ . D、 $\exists m > 0$ ，使 $x \in (0 ， m)$ ， $f^{'} (x) > 1$ .

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二、多选题

9. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{c} | = 3$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | =$ （）

A、6 B、 $\sqrt{14}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{34}}{2}$

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10. 随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（）

A、A发生的概率为0.6 B、B发生且A不发生的概率为0.2 C、A或B发生的概率为0.9 D、A与B同时发生的概率0.2

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11. 函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3})$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{9} ， 0)$ 中心对称，且在区间 $(0 ， π)$ 恰有三个极值点，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{9} ， \frac{π}{9})$ 单调递增. B、 $f (x)$ 在区间 $(- π ， π)$ 有六个零点. C、直线 $x = \frac{11 π}{18}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴. D、 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，所得图象对应的函数为奇函数.

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{e l n x}{x}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， e)$ 上递增；在 $(e ， + ∞)$ 上递减. B、 $0 < a < \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = a x$ 有两个根. C、当 $0 < m < 1$ 时，过 $(0 ， m)$ 能做 $f (x)$ 两条切线. D、方程 $f^{2} (x) + a f (x) + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 $(- ∞ ， - 2) ∪ (2 ， + ∞)$ .

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三、填空题

13. $(x^{3} + 1) {(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中的 $x^{3}$ 项的系数是.

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14. 数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的通项公式 $a_{n} =$ （写一个符合条件的即可）.

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15. 中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工.“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹.据《格古要论》载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了.今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为.

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16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为椭圆上任意一点，点 $(m ， n)$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，则m＋n的最大值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c， $c = 2$ ，面积为S，且 $b c o s \frac{A}{2} = S$ .

(1)、求角A的大小.

(2)、当a取最小值时，求 $△ A B C$ 的周长和面积.

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18. 数列 ${a_{n}}$ 的前n项积 $T_{n} = 2^{n^{2}}$ .数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = l o g_{2} T_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式.

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和.

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19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧面 $P A D$ 为正三角形， $M$ 为 $P D$ 的中点， $N$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P A B$ .

(2)、当 $A M ⊥ P C$ 时，求平面 $M N D$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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20. 全民国防教育日是每年9月的第三个星期六，它是国家设定的对全民进行大规模国防教育的主题活动日.目的是弘扬爱国主义精神，普及国防教育，使全民增强国防观念，掌握必要的国防知识和军事技能，自觉履行国防义务，关心、支持、参与国防建设.为更好推动本次活动开展，某市组织了国防知识竞赛.比赛规则：每单位一名选手参加，比赛进行n轮（ $n \in N^{*}$ ），每轮比赛选手从A组题或B组题中抽取一道回答.每选手必须先回答A组题，若答对则下一轮回答B组题，若答错回答A组题.答对A组一题得10分，否则得0分，答对B组一题得20分，否则得0分，n轮结束累加总分.已知某单位拟选派甲乙中一人参赛，且甲答对A组题概率为0.8，答对B组题概率为0.5，乙答对A组题概率为0.5，答对B组题概率为0.8，且每人答对每道题相互独立.问：

(1)、若比赛仅进行两轮，则安排甲乙谁参赛更合适？

(2)、若安排甲选手参赛，求第四轮甲恰好回答B组题的概率.

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21. 已知 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 为椭圆C： $x^{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右顶点，直线 $x = x_{0}$ 与C交于 $A 、 B$ 两点，直线 $A_{1} A$ 和直线 $A_{2} B$ 交于点 $P$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程.

(2)、直线l与点 $P$ 的轨迹交于 $M 、 N$ 两点，直线 $N A_{1}$ 的斜率与直线 $M A_{2}$ 斜率之比为 $- \frac{1}{3}$ ，求证以 $M N$ 为直径的圆一定过C的左顶点.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x^{2} - 1} - 1$ .

(1)、若 $y = f (x)$ 的最小值为0，求a的值；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 2 l n x - l n a$ 恒成立，求a的取值范围.

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