贵州省遵义市新高考协作体2023届高三上学期理数入学质量监测试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若隻合 $A = {x | l o g_{2} (x - 2) < 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x \leq 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(2 ， 3]$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $[0 ， 3]$

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2. 若复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $\frac{z}{z \bar{z} - 1}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{6} i$ B、 $- \frac{1}{6} i$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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3. 某同学利用暑假积极参加社会实践活动，帮助湄潭翠芽经销商进行促销，该同学在两周内的每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论中正确的是（）

A、这14天的促销量的中位数大于200 B、这14天促销量超过200的天数所占比例大于50% C、这14天内，促销量的极差小于200 D、前7天促销量的方差小于后7天促销量的方差

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4. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 26$ ， $a_{3} = 18$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、80 B、81 C、243 D、242

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5. 现有甲、乙、丙、丁四位同学要与两位老师站成一排合影留念，则甲同学不站两端且两位老师必须相邻的站法有（）

A、72种 B、144种 C、288种 D、576种

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6. 已知角 $α$ 的终边在直线 $y = 2 x$ 上，则 $3 s i n α c o s α - s i n^{2} (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{11}{10}$ C、 $\frac{13}{10}$ D、 $- \frac{13}{10}$

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7. 设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点不共线，则“ $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角是钝角”是“ $| \vec{A B} + \vec{A C} | < | \vec{B C} |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知圆C的方程为 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ， $B (- 1 ， 0)$ ， A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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9. 函数 $f (x) = \frac{s i n x + x}{e^{x} + e^{- x}}$ 在 $[- π ， π]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的四个顶点均在体积为 $\frac{32}{3} π$ 的球面上， $A B = B C = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 的体积的最大值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} + 3}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} + 3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{12}$

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11. 若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = e^{x + 1}$ 的切线，也是 $y = e^{x} + 2$ 的切线，则 $k =$ （）

A、 $l n 2$ B、 $- l n 2$ C、2 D、-2

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12. 已知 $0 < t < 1$ ，若 $a = \frac{t}{s i n t}$ ， $b = c o s (2 π - t)$ ， $c = e^{- 1}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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二、填空题

13. 直线 $l_{1}$ ： $m x + 2 y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + (m - 1) y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m =$ ．

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14. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = \sqrt{2} A B$ ，则异面直线 $B A_{1}$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值为．

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15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $b s i n \frac{B + C}{2} = a s i n B$ ， $a = \sqrt{2}$ ，则△ABC周长的最大值为．

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16. 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ ，交抛物线 $C$ 的准线于点 $A$ ，与抛物线 $C$ 的一个交点为 $B$ ，且 $\vec{A B} = k \vec{B F} (k \geq \sqrt{3})$ ，若 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是．

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三、解答题

17. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满成功．为纪念中国航天事业成就、发扬并传承中国航天精神，在遵义市某高中学校进行航天知识竞赛，并记录得分（满分：100分），根据得分，将数据分成了7组： $[20 ， 30)$ ， $[30 ， 40)$ ， … $[80 ， 90]$ ，并绘制出如下的频率分步直方图：

(1)、用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人的得分低于70分，另1人的得分不低于80分的概率；

(2)、从得分在 $[60 ， 90]$ 的学生中利用分层抽样选出8名学生，若从中选出3人进行航天演讲活动，求选出的3人竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及数学期望．

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18. $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 2$ ， $2 S_{n} = n (a_{n + 1} + 1)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明：当 $n \geq 2$ 时， $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n - 1} a_{n}} < \frac{1}{2}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是平行四边形， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A D = 4$ ， E为AB的中点， $D E = A E$ ，侧面 $P A D ⊥$ 底面ABCD．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面PBD；

(2)、若PB与平面ABCD所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求平面PAD与平面PCE所成的锐二面角的余弦值．

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20. 已知点 $F_{1}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点， $Q$ 是椭圆 $C$ 上的任意一点， $A (\frac{1}{2} ， 1)$ ．

(1)、求 $| Q F_{1} | + | Q A |$ 的最大值；

(2)、过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于两点 $M ， N$ ，与 $y$ 轴相交于点 $P$ ．若 $\vec{P M} = λ \vec{M F_{1}}$ ， $\vec{P N} = μ \vec{N F_{1}}$ ，试问 $λ + μ$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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21. 已知 $f (x) = \frac{1}{x} (l n x + 1)$

(1)、若 $a = \frac{1}{2} l n 2 + \frac{1}{4}$ ， $b = \frac{2}{e}$ ， $c = \frac{l n π + 1}{π}$ ，请比较a，b，c的大小；

(2)、若函数 $g (x) = m - x^{3} f^{'} (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $| x_{1} - x_{2} | + 2 m < e^{- 2} + 1$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线 $C_{1}$ ： $x = - 2$ ， $C_{2}$ ： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，设 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交于O，P两点（O为坐标原点），过O点与 $C_{3}$ 垂直的直线 $C_{4}$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别相交于M，N（N异于点O）两点，求 $△ P M N$ 的面积．

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23. 已知函数 $f (x) = 3 | x - 1 | - | x + a |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) > 1$ 的解集；

(2)、已知 $a > 0$ ，若 $f (x)$ 的图象与x轴围成的三角形面积大于 $\frac{3}{2}$ ，求实数a的取值范围．

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