贵州省贵阳市2023届高三上学期理数8月摸底考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 7 x + 6 \leq 0}$ ， $B = {x | x = 2 k ， k \in Z}$ ，则 $A ∩ B$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 复数 $z$ 满足 $(1 - i) \cdot z = 1$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $8 - \frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $8 - \frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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4. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 \\ x - y \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最大值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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5. 已知命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in N$ ， $e^{x_{0}} \leq s i n x_{0} + 1$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall x \notin N$ ， $e^{x} > s i n x + 1$ B、 $\exists x \in N$ ， $e^{x} \leq s i n x + 1$ C、 $\forall x \notin N$ ， $e^{x} \leq s i n x + 1$ D、 $\forall x \in N$ ， $e^{x} > s i n x + 1$

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6. “云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D在同一水平面上的A，B两点，在A点和B点测得C点的仰角分别为45°和30°，测得 $A B = 25 \sqrt{7}$ 米， $∠ A D B = 150 °$ ，则云楼的高度CD为（）

A、20米 B、25米 C、 $20 \sqrt{7}$ 米 D、 $25 \sqrt{7}$ 米

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7. 函数 $y = \frac{s i n (\frac{π}{2} x)}{l g (x^{2} + 1)}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{n} + 2 = a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2} + a_{4} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + a_{2022} =$ （）

A、 $\frac{4}{3} \times (2^{2022} - 1)$ B、 $\frac{4}{3} \times (2^{2024} - 1)$ C、 $\frac{16}{3} \times [1 - {(\frac{1}{2})}^{2022}]$ D、 $\frac{4}{3} \times [1 - {(\frac{1}{2})}^{2024}]$

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9. 贵安新区是中国第八个国家级新区，位于贵州省贵阳市和安顺市结合部，是南方数据中心核心区、全国大数据应用与创新示范区，同时也是内陆开放型经济新高地和生态文明示范区．“贵安”拼音的大写形式为“GUIAN”，现从这5个字母中任选2个，则取到的2个字母中恰有1个字母为轴对称图形的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{5}$

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10. 若 $α \in (0 ， π)$ ， $t a n α = \frac{2 c o s \frac{α}{2}}{3 - 2 s i n \frac{α}{2}}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{2}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上且异于长轴端点．点 $M ， N$ 在 $△ P F_{1} F_{2}$ 所围区域之外，且始终满足 $\vec{M P} \cdot \vec{M F_{1}} = 0$ ， $\vec{N P} \cdot \vec{N F_{2}} = 0$ ，则 $| M N |$ 的最大值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) - 1$ 是奇函数，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = \sqrt{4 x - x^{2}} + 1$ ；当 $x > 2$ 时， $f (x) = 2^{| x - 4 |} + 1$ ．当 $k$ 变化时，方程 $f (x) - k x - 1 = 0$ 的所有根从小到大记为 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{n}$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (x_{n})$ 取值的集合为（）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${1 ， 3 ， 5}$ C、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7}$ D、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$

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二、填空题

13. ${(2 + x)}^{5}$ 二项展开式中 $x^{3}$ 项的系数是．

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14. 已知平面向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- k ， 2)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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15. 自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为 $20 \sqrt{2} c m$ ，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 $c m^{2}$ ．

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16. 《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为 $d$ ，双曲线 $C$ 的两条渐近线与直线 $y = 1$ ， $y = - 1$ 以及双曲线 $C$ 的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕 $y$ 轴旋转一周所得几何体的体积为 $\sqrt{2} d c π$ （其中 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ），则双曲线的离心率为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b s i n C = \sqrt{3} c c o s B$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， _________，求△ABC的周长．
在① $s i n A \cdot s i n C = \frac{1}{4}$ ；②△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ 这两个条件中任选一个，补充在横线上．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 2022年2月4日—2月20日北京冬奥会如期举行，各国媒体争相报道运动会盛况，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看冬奥新闻．某机构将每天关注冬奥时间在 $1$ 小时以上的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，通过调查并从参与调查的人群中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：

非冬奥迷
冬奥迷
合计
$50$ 岁及以下
40
60
100
$50$ 岁以上
80
20
100
合计
120
80
200
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.027
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“非冬奥迷”还是“冬奥迷”与年龄有关？

(2)、现从抽取的50岁及以下的人中，按“非冬奥迷”与“冬奥迷”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后，再从这5人中随机选出2人，其中“冬奥迷”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B = 1$ ， $∠ B C A = 9 0^{∘}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M ， N$ 分别是 $A_{1} B_{1} ， A_{1} A$ 的中点．

(1)、求证： $B N ⊥ C_{1} M$ ；

(2)、求平面 $M N C_{1}$ 与平面 $N B C$ 的夹角．

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20. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l： $m x + y - 1 = 0$ 经过抛物线C的焦点．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若直线l与抛物线C相交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 - \frac{2 (a + 1)}{x + a} - l n x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，设 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，求证； $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < \frac{1}{a} - \frac{2}{1 + a}$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s θ$ .

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l和曲线C交于 $A ， B$ 两点，点 $P (1 ， 0)$ ，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - | x - 1 | + 2 m (m \in R)$ ．

(1)、若 $m = \frac{1}{2}$ ，求不等式 $f (x) \leq \frac{1}{2}$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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24. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 3$ ， $S_{4} = a_{4} + a_{6}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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	非冬奥迷	冬奥迷	合计
$50$ 岁及以下	40	60	100
$50$ 岁以上	80	20	100
合计	120	80	200

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.027	2.706	3.841	5.024	6.635