广东省2023届高三上学期数学开学联考试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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2. 集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {y | y = x^{2} ， x \in A}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $[1 ， 4)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $[0 ， 2)$

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3. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别满足 $\vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ， $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{F D}$ ，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{5}{12} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{11}{12} \vec{a} - \frac{5}{4} \vec{b}$ C、 $\frac{13}{12} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{19}{12} \vec{a} - \frac{5}{4} \vec{b}$

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4. 如图所示的三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $P A = A B = B C = 3$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{27 π}{2}$ B、27π C、54π D、108π

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5. 把函数 $y = s i n 2 x (x \in R)$ 的图像上所有的点向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）

A、 $y = s i n (4 x + \frac{π}{6}) ， x \in R$ B、 $y = s i n (4 x - \frac{π}{6}) ， x \in R$ C、 $y = s i n (4 x + \frac{π}{3}) ， x \in R$ D、 $y = s i n (4 x - \frac{π}{3}) ， x \in R$

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6. 在0至5这6个数字中任选3个不同的数，组成一个三位数，若从这些三位数中任取一个，则该数为三位偶数的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{13}{25}$ C、 $\frac{14}{25}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 已知 $f (x) = 2 x^{2}$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，且对一切 $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、 ${l o g_{2} a_{n}}$ 是等比数列 D、 ${l o g_{2} a_{n} + 1}$ 是等比数列

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8. 设 $a = \frac{1}{2 \sqrt{e}}$ ， $b = l n \sqrt{2}$ ， $c = \frac{4 - l n 4}{e^{2}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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二、多选题

9. 已知 $f (x) = x e^{x}$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $f^{'} (x) = (x - 1) e^{x}$ B、曲线 $f (x)$ 在 $(0 ， 0)$ 处的切线斜率为1 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{e}$

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10. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $M$ 、 $N$ 是椭圆 $C$ 上两点，且 $M$ 、 $N$ 分别在 $x$ 轴两侧，则（）

A、若直线 $M N$ 经过原点，则四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 为矩形 B、四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 的周长为20 C、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为12 D、若直线 $M N$ 经过 $F_{2}$ ，则 $F_{1}$ 到直线 $M N$ 的最大距离为8

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11. 直六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中，底面是边长为2的正六边形，侧棱 $A A_{1} = 2$ ，点 $O$ 是底面 $A B C D E F$ 的中心，则（）

A、 $O F_{1} / /$ 平面 $A_{1} C D_{1}$ B、 $O F_{1}$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $B O ⊥$ 平面 $A A_{1} D_{1} D$ D、 $B_{1} F$ 与平面 $C C_{1} F_{1} F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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12. 已知直线 $l ： y = a x - 1$ ，曲线 $C_{1} ： f (x) = e^{x + 1} + 1$ ，曲线 $C_{1}$ 关于直线 $y = x + 1$ 对称的曲线 $C_{2}$ 所对应的函数为 $y = g (x)$ ，则以下说法正确的是（）

A、不论 $a$ 为何值，直线 $l$ 恒过定点 $(0 ， - 1)$ ； B、 $g (x) = l n x - 1$ ； C、若直线 $l$ 与曲线 $C_{2}$ 相切，则 $a = 1$ ； D、若直线 $l$ 上有两个关于直线 $y = x + 1$ 对称的点在曲线 $C_{1}$ 上，则 $0 < a < 1$ .

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三、填空题

13. ${(x - \frac{2}{x})}^{8}$ 的展开式中的常数项为．

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14. 过点 $P (2 ， 2)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则直线 $A B$ 的方程为．

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15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{n} + 120}{n}$ 的最小值为．

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是双曲线 $C$ 的左、右焦点， $M$ 是双曲线 $C$ 右支上一点， $l$ 是 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的平分线，过 $F_{2}$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $P$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n + 1} = 4 a_{n} + 1$ ， $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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18. 已知锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\frac{t a n B + t a n C + \sqrt{3}}{t a n B t a n C} = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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19. 如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $A A_{1} = 4$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点， $E$ 是 $C C_{1}$ 上一点．

(1)、求证：平面 $C D E ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若 $C D / /$ 平面 $A_{1} B E$ ，求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A B C$ 所成的锐二面角的余弦值．

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20. 甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）．采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为 $p$ ， $0 < p < 1$ ．

(1)、设甲以3：1获胜的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 的最大值；

(2)、记（1）中， $f (p)$ 取得最大值时 $p$ 的值为 $p_{0}$ ，以 $p_{0}$ 作为 $p$ 的值，用 $X$ 表示甲、乙两人比赛的局数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线上一点 $E (- 1 ， t)$ ，直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $E A$ 、 $E F$ 、 $E B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $k_{3}$ ，求证： $k_{1} + k_{3} = 2 k_{2}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{k}{x + 1}$ ， $x > 0$ ．

(1)、当 $k = 4$ 时，比较 $f (x)$ 与2的大小；

(2)、求证： $\frac{2}{3} + \frac{2}{5} + \frac{2}{7} + ⋯ + \frac{2}{2 n + 1} < l n (n + 1)$ ， $n \in N^{*}$ ．

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