甘肃省白银市靖远县2022-2023学年高三上学期理数开学考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 1}$ ， $B = {x | 2 x^{2} + (a - 4) x - 2 a \leq 0}$ ，且 $A ∩ B = {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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2. 设 $- (z + \bar{z}) + 2 (z - \bar{z}) = - 4 - 4 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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3. 函数 $f (x) = c o s x \cdot l n \frac{π + x}{π - x}$ 在 $(- π ， π)$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前4项和为90，且 $a_{1} - a_{3} = 36$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的身高都在A，B，C，D，E五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则所给叙述正确的是（）

A、样本中A层次的女生比相应层次的男生人数多 B、估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大 C、D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等 D、样本中B层次的学生数和C层次的学生数一样多

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{4 | x |}{1 + | x |}$ ，则不等式 $f (2 x - 3) < 2$ 的解集是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{5}{2})$ C、 $(- \infty ， 1) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) ∪ (\frac{5}{2} ， + \infty)$

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7. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、8 C、 $\frac{28}{3}$ D、10

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8. 将函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $y = g (x)$ 为奇函数，则ω的最小值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的底面是正三角形， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，且 $A B = B C$ ，则直线 $A B$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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10. 6名志愿者要到 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去 $A$ 社区，则不同的安排方法共有（）

A、105种 B、144种 C、150种 D、210种

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若 $A F_{1} ⊥ A B$ ，且 $| A B | = 2 | A F_{1} |$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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12. 已知 $a > 0$ ，若对任意的 $x \in (\frac{1}{2} ， + \infty)$ ，不等式 $\frac{1}{2} e^{a x} - \frac{l n (2 x)}{a} \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{2}{e} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2 e} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} + a_{4} = 14$ ，则 $a_{40} =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点是 $F$ ， $A$ 是 $C$ 的准线上一点，线段 $A F$ 与 $C$ 交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，且 $| A B | = \sqrt{5} | B F |$ ， $S_{△ D O F} = 4$ （ $O$ 为原点），则 $C$ 的方程为.

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16. “康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一，定理的内容如下：如图， $△ A B C$ 的三条边长分别为 $| B C | = a$ ， $| A C | = b$ ， $| A B | = c$ ．延长线段 $C A$ 至点 $A_{1}$ ，使得 $| A A_{1} | = a$ ，延长线段 $A C$ 至点 $C_{2}$ ，使得 $| C C_{2} | = c$ ，以此类推得到点 $A_{2}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B_{2}$ ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知 $a = 12$ ， $b = 5$ ， $c = 13$ ，则由 $△ A B C$ 生成的康威圆的半径为．

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b s i n (C + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} a + \sqrt{3} c}{2}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，且 $s i n A + s i n C = \frac{2 \sqrt{3}}{3} s i n B$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，答对每道冬奥知识题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每题答对与否不影响后续答题.

(1)、学生甲恰好答对两题的概率是多少？

(2)、求学生甲答对的题数 $X$ 的分布列和数学期望.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，点 $E$ 是棱 $P A$ 上一点， $B E ⊥ P D$ ， $P A = P B = P D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D$ $= 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ .

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $C D ∥ A B$ ，求二面角 $A - P D - C$ 的正弦值.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点是M（2，0），离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程．

(2)、过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - m x + 2$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ .

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、证明： $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} > 2 e$ .

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 - 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ ，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 $ρ s i n (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ．

(1)、求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l^{'}$ 过点 $M (- 2 ， 1)$ 且与直线l平行，直线 $l^{'}$ 交曲线C于A，B两点，求 $\frac{1}{| M A |} + \frac{1}{| M B |}$ 的值．

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23. 已知a，b，c均为正数，且 $4 a^{2} + b^{2} + 16 c^{2} = 1$ ，证明：

(1)、 $2 a + b + 4 c \leq \sqrt{3}$ ；

(2)、 $\frac{1}{4 a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{16 c^{2}} \geq 9$ ．

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