北京市房山区2023届高三数学8月开学测试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ，集合 $A = {x | - 1 < x \leq 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[- 2 ， - 1] ∪ (0 ， 2]$ B、 $[- 2 ， - 1) ∪ [0 ， 2]$ C、 $[- 1 ， 0)$ D、 $(- 1 ， 0]$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 3 + 4 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $3 - 4 i$ B、 $3 + 4 i$ C、 $4 - 3 i$ D、 $4 + 3 i$

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3. 若直线 $y = 2 x + m$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 的一条对称轴，则m的值为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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4. 已知函数 $f (x) = | l g x |$ ，则对任意正实数 $x$ 恒成立的是（）

A、 $f (- x) + f (x) = 0$ B、 $f (- x) - f (x) = 0$ C、 $f (x) + f (\frac{1}{x}) = 0$ D、 $f (x) - f (\frac{1}{x}) = 0$

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5. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{12})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减

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6. 设 ${a_{n}}$ 是公比不为1的无穷等比数列，则“ ${a_{n}}$ 为递减数列”是“存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n > N_{0}$ 时， $a_{n} < 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若 $(2 x - 1)^{4} = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、6 B、24 C、-6 D、-24

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8. 如图，某池塘里浮萍的面积 $y$ （单位： $m^{2}$ ）与时间 $t$ （单位：月）的关系为 $y = a^{t}$ ．则下列说法中正确的是（）

A、第5个月时，浮萍面积就会超过 $50 m^{2}$ B、浮萍每月增加的面积都相等 C、浮萍面积每月的增长率都相等
（注：浮萍面积每月增长率= $\frac{下月浮萍面积 - 本月浮萍面积}{本月浮萍面积}$ ）
D、若浮萍面积为 $2 m^{2} ， 3 m^{2} ， 6 m^{2}$ 时所对应的时间分别是 $t_{1} ， t_{2} ， t_{3}$ ，则 $t_{1} \cdot t_{2} = t_{3}$

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9. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，S是正方体内部及表面上的点构成的集合，设集合 $T = {P \in S | A P = 1}$ ，则 $T$ 表示的区域的面积为（）

A、4π B、2π C、π D、 $\frac{π}{2}$

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10. 已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $A B$ 为圆 $M$ 的直径，若点 $P$ 为圆 $M$ 上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 4]$ B、 $[- 1 ， 3]$ C、 $[- 2 ， 4]$ D、 $[- 3 ， 1]$

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \frac{1}{1 - x} + \sqrt{x + 1}$ 的定义域是.

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12. 已知点 $P (m ， n)$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则 $m =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4}) + c o s (x - \frac{π}{4})$ ，若 $f (x) \leq f (x_{0})$ 对任意实数x都成立，则 $x_{0}$ 的一个取值为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 2 ， {a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} S_{n} = a_{n + 1}^{2} + a_{n + 1} \cdot S_{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ ．给出下列四个结论：
① ${a_{n}}$ 的第2项小于1； ② ${a_{n} \cdot S_{n}}$ 为常数列；
③ ${a_{n}}$ 为递增数列； ④ ${a_{n}}$ 中存在小于 $\frac{1}{100}$ 的项．
其中所有正确结论的序号是．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x \leq a \\ x^{2} ， x > a \end{array}$ 是 $(- \infty ， + \infty)$ 上的增函数，则a的取值范围是； $f (- 1)$ 的值为．

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c ， s i n 2 C = s i n C$ ．

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、若 $b = 1$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C ， A B = B C = 2$ ， D为 $A C$ 中点，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形．

(1)、求证： $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 $A B$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值．
条件①： $A B ⊥ B_{1} C$ ；
条件②： $A_{1} B = B_{1} C$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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18. 某人从家开车上班，有甲、乙两条路线可以选择，甲路线上有3个十字路口，在各路口遇到红灯的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；乙路线上有2个十字路口，在各路口遇到红灯的概率依次为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ．假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯停留的时间都是 $1 m i n$ ．

(1)、若走甲路线，求该人恰好遇到1个红灯的概率；

(2)、若走乙路线，求该人在上班途中因遇红灯停留总时间X的分布列和期望；

(3)、若只考虑路口遇到红灯停留总时间最少，该人选择甲路线还是乙路线？（只写出结论）

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19. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) + s i n x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调性；

(3)、证明： $f (x)$ 在 $(- 1 ， π)$ 上存在唯一的极大值点．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴的两个端点分别为 $A (- 2 ， 0) ， B (2 ， 0)$ 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线 $A M$ 交直线 $x = 4$ 于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线 $B N$ 垂直的直线记为l，直线 $B M$ 交y轴于点P，交直线l于点Q，求证： $\frac{| B P |}{| P Q |}$ 为定值．

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21. 设 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 是两个等差数列，记 $c_{n} = m i n {b_{1} + a_{1} n ， b_{2} + a_{2} n ， ⋯ ， b_{n} + a_{n} n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ ，其中 $m i n {x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{s}}$ 表示 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{s}$ 这s个数中最小的数．

(1)、若 $a_{n} = - n ， b_{n} = n$ ，求 $c_{1} ， c_{2} ， c_{3}$ 的值；

(2)、若 $a_{n} = 2 ， b_{n} = n$ ，证明 ${c_{n}}$ 是等差数列；

(3)、证明：或者对任意实数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，当 $n \geq m$ 时， $\frac{c_{n}}{n} < M$ ；或者存在正整数 $m$ ，使得 $c_{m} ， c_{m + 1} ， c_{m + 2} ， \cdot \cdot \cdot$ 是等差数列．

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