安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2022-09-20 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{3 + 4 i}$ ，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - m x < 0} ， B = | x | l n x < 1}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， e]$ B、 $[- e ， e]$ C、 $[e ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， e]$

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3. 已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (3 ， 4) ， \vec{a} \cdot \vec{b} = 6 ， | \vec{a} - \vec{b} | = 7$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第11卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”.若一个直角圆锥的侧面积为 $3 \sqrt{2} π$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、3π C、 $4 \sqrt{2} π$ D、 $6 \sqrt{2} π$

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5. 如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（）

A、14 B、18 C、30 D、36

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6. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ ，且 $s i n α + c o s α = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{7}}{4}$

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7. 当圆 $C ： x^{2} - 2 x + y^{2} - 3 = 0$ 截直线 $l ： x - m y + m - 2 = 0$ 所得的弦长最短时，实数 $m =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $- \sqrt{2}$ D、-1

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8. 设正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项乘积为 $T_{n}$ ，已知 $a_{5} = 1 ， T_{3} = 2 T_{7}$ ，则 $T_{n}$ 的（）

A、最大值为 32 B、最大值为 1024 C、最小值为 $\frac{1}{32}$ D、最小值为 $\frac{1}{1024}$

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9. 过抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，则 $l$ 的倾斜角 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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10. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{4 - m} - \frac{y^{2}}{m} = 1 (0 < m < 4)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与此双曲线的一个公共点，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积（）

A、有最大值4 B、有最小值2 C、为 $4 - m$ D、为 $m$

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11. 若 $a = l o g_{5} 15 ， b = l o g_{4} 9 ， c = \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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12. 若 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 的图象恒在函数 $g (x) = l n (a x) - x$ 的图象上方(无公共点)，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， e)$ B、 $(0 ， 2 e)$ C、 $(0 ， \frac{1}{\sqrt{e}})$ D、 $(0 ， \sqrt{e})$

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二、填空题

13. 已知曲线 $y = e^{1 - x} - x l n x$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $m x + y + 2 = 0$ 垂直，则实数 $m =$ .

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14. 已知甲盒装有3个红球， $m$ 个白球，乙盒装有3个红球， 1个白球，丙盒装有2个红球， 2个白球，这些球除颜色以外完全相同. 先随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球，若取得白球的概率是 $\frac{37}{84}$ ，则 $m =$ .

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15. 有下列命题：
①函数 $y = t a n x$ 在定义域内是增函数；
②函数 $f (x) = | c o s (\frac{1}{3} x + \frac{π}{4}) + \sqrt{2} |$ 的最小正周期为 $3 π$ ；
③直线 $x = π$ 为函数 $f (x) = s i n (c o s x) + c o s x$ 图像的一条对称轴；
④函数 $f (x) = | s i n x | + c o s x$ 的值域为 $[- 1 ， \sqrt{2}]$ .
其中所有正确命题的序号为.

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，则三棱锥 $A_{1} - A E C$ 的外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = \frac{1}{4} ， a_{n} - a_{n + 1} = 3 a_{n} a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 c s i n A = \sqrt{3} a$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a + 2 b = 6$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 为了促进落实“科技助农”服务，某地农业农村局组织基层工作人员参与农业科技知识竞赛，先进行选拔赛. 选拔赛中选手需要从题库中随机抽一题答一题，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对或答错3题即终止比赛，答对3题者进入正赛，答错3题者则被淘汰. 设选手甲答对每个题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且答每个题互不影响.

(1)、求选手甲进入正赛的概率；

(2)、设选手甲在选拔赛中答题的个数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是矩形， $3 B C = 2 C C_{1} = 6$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，且 $A_{1} D = \sqrt{10}$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求直线 $C B_{1}$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n x ， g (x) = \frac{f (x)}{a} ， a \neq 0$ .

(1)、若 $g (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a > 0$ ，求证： $f (x) \geq 2 + l n a$ .

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22. 已知 $F$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，点 $P (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，且 $P F ⊥ x$ 轴.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $A (0 ， 1)$ 及椭圆 $C$ 上 $M$ ， $N$ 两点满足 $A M ⊥ A N$ ，过点 $F$ 作直线 $M N$ 的垂线，垂足为 $H$ ，求点 $H$ 的轨迹方程

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