安徽省部分校2023届高三上学期数学开学摸底考试试卷

试卷更新日期：2022-09-19 类型：开学考试

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一、单选题

1. 若 $z = - 1 - i^{2023}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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2. 设集合 $P = {x ∣ l o g_{2} x < 2} ， Q = {y ∣ y = \sqrt{25 - x^{2}} ， x \in P}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、 ${x ∣ 3 < x < 4}$ B、 ${x ∣ 3 < x ⩽ 4}$ C、 ${x ∣ 0 < x < 4}$ D、 ${x ∣ 0 < x ⩽ 5}$

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3. 下图是国家统计局2022年6月发布的规模以上工业日均原油产量（单位：万吨）的月度走势情况，现有如下说法：
①2020年5月至2022年5月，规模以上工业原油的日均产量的极差为4；②从2021年5月至2021年12月中随机抽取1个月份，月增速超过2.9%的概率为 $\frac{1}{2}$ ；③2022年4月份，规模以上工业原油总产量约为1701万吨；则说法错误的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 若 $t a n α = 3$ ，则 $s i n (2 α - 3 π) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n} = 3 S_{n} - 1$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{9}{16}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{5}{16}$

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $C C_{1}$ 上，点 $N$ 为线段 $A A_{1}$ 的中点，记平面 $B D M ∩$ 平面 $B_{1} D_{1} M = l$ ，则下列说法一定正确的是（）

A、 $l ⊥$ 平面 $B D N$ B、 $l ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} N$ C、 $l ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ D、 $l ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$

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7. 已知函数 $f (x) = (a - 1) x^{3} + x^{2} + l n (x^{2} + 2)$ 为 $R$ 上的偶函数，则不等式 $f (2 x - 1) ⩽ f (a)$ 的解集为（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $[- 1 ， 1]$ D、 $[0 ， 1]$

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8. 已知 $(m x + 1)^{n} (n \in N^{*} ， m \in R)$ 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设 $(m x + 1)^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n}$ ，若 $a_{1} = 8$ ，则 $a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n} =$ （）

A、63 B、64 C、247 D、255

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9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，其中 $A (\frac{π}{12} ， 2) ， B (\frac{π}{3} ， 0)$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后关于原点对称 C、 $f (x)$ 在 $[- π ， - \frac{2 π}{3}]$ 上单调递减 D、直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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10. 在四面体 $A B C D$ 中， $△ A B C$ 与 $△ B C D$ 都是边长为 2 的等边三角形，且点 $A$ 在底面 $B C D$ 的射影落在 $△ B C D$ 的中心上，则四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积为（）

A、4π B、6π C、8π D、 $4 \sqrt{2} π$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $A$ 在 $C$ 的过第二、四象限的渐近线 $l$ 上，且 $A F_{2} ⊥ l$ ，若 $| B F_{2} | - | B F_{1} | = 2 a$ ，且 $\vec{F_{2} B} + 2 \vec{B A} = 0$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = 2^{4 x} - 2^{2 (x + 1)} - 5$ 的零点，设 $a = 4 - 3^{x_{0}} ， b = 6 - 5^{x_{0}}$ ，则（）

A、 $a > 0 > b$ B、 $b > a > 0$ C、 $a > b > 0$ D、 $b > 0 > a$

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二、填空题

13. 已知某次考试的数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N (100 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，且 $P (80 < X < 120) = \frac{2}{3}$ ，现从这次考试随机抽取 3 位同学的数学成绩，则这 3 位同学的数学成绩都在 $(100 ， 120)$ 内的概率为．

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，且 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为．

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15. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 12 x$ 的焦点为 $F$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A ， B$ 两点，与 $C_{2}$ 交于 $M ， N$ 两点，且 $A ， M$ 在同一象限，则 $| A M | + 4 | B N |$ 的最小值为．

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16. 函数 $f (x) = x (e^{x} - 1) - l n x + 1$ 的值域是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{n}{2 a_{n} - 5}$ ，且数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $c_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} a_{n + 2}}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{4}{33}$ ．

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18. 已知某校高三进行第一次摸底考试，从全校选考地理的高三学生中，随机抽取 100 名学生的地理成绩制成如图所示的频率分布直方图，满分为 100 分，其中 80 分及以上为优秀，其他为一般．已知成绩优秀的学生中男生有 10 名，成绩一般的学生中男生有 40 名，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表．
性别
考试成绩
合计
优秀
一般
男生
10
40
女生
合计
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，（其中 $n = a + b + c + d$ ）
$α$
0.10
0.05
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、根据上述数据，完成上面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析“考试成绩优秀”与 “性别” 是否有关?

(2)、从考试成绩在 $[80 ， 90) ， [90 ， 100]$ 中，利用分层随机抽样抽取7名学生进行学习方法经验介绍，从抽取的学生中，再确定3名学生做学习经验的介绍，则抽取的3名学生中，考试成绩在 $[90 ， 100]$ 的学生数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列与数学期望．

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19. 在 $△ A B C$ 中，点 $M ， N$ 分别在线段 $B C ， B A$ 上，且 $B M = C M ， ∠ A C N = ∠ B C N$ ， $A B = \sqrt{13} ， A M = \frac{3}{2} ， A C = 2$ ．

(1)、求 $B M$ 的长；

(2)、求 $△ B C N$ 的面积．

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，且 $P D ⊥$ 平面 $A B C D ， A B / / D C$ ， $D C = 2 A B = 4 ， A B ⊥ A D ， P D = 2$ ，点 $M$ 在棱 $P C$ 上．

(1)、当 $M C = 2 M P$ 时，求证： $P A / /$ 平面 $M B D$ ；

(2)、若直线 $P A$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ ，二面角 $P - B D - M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $\frac{P M}{P C}$ 的值．

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21. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 过点 $M ， N ， P$ ，记线段 $M N$ 的中点为 $Q$ ．

(1)、若直线 $M N$ 的斜率为 3 ，求直线 $O Q$ 的斜率；

(2)、若四边形 $O M P N$ 为平行四边形，求 $| M N |$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - a x ， a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、若 $x \in (- 1 ， 0] ， f (x) ⩽ 1 - c o s x$ ，求 $a$ 的取值范围．

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性别	考试成绩		合计
性别	优秀	一般	合计
男生	10	40
女生
合计

$α$	0.10	0.05	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828