2022-2023初数北师大版八年级上册7.1为什么要证明同步练习

试卷更新日期：2022-09-18 类型：同步测试

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一、单选题（每题4分，共30分）

1. 如图，对于四条线段a，b，c，d，请借助直尺或圆规判断长度最大的为（）

A、a B、b C、c D、d

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2. 当 $a$ 是什么数时， $a + 1$ 的结果一定是奇数？（）

A、质数 B、偶数 C、合数 D、奇数

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3. 用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热．此结论的得出运用的方法是（　　）

A、观察 B、实验 C、归纳 D、类比

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4. 七年级一班的同学想举行一次拔河比赛，他们想从两条大绳中挑出一条最长的绳子，请你为他们选择一种合适的方法（）

A、把两条绳子接在一起 B、把两条大绳的一端对齐，然后拉直两条大绳，另一端在外面的即为长绳 C、把两条绳子重合，观察另一端情况 D、没有办法挑选

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5. 有三个两位数a，b，c，其中a是质数，b是能被5整除的偶数、c是6的倍数，并且满足80<a<b<c<100。学习小组的同学对其进行研究后得出结论：小敏说“满足条件的整数a只有一个”，小杰说“满足条件的整数b只有一个，小安说“a除以b一定大于b除以c”，下列结论中正确的是（）

A、只有小敏是对的 B、小杰和小安是对的 C、只有小安是错的 D、小敏和小安是铅的

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6. 把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是（）

A、11的倍数 B、奇数 C、偶数 D、9的倍数

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7. 若 $m$ 为正整数，那么 $\frac{1}{4} [1 - {(- 1)}^{m}] (m^{2} - 1)$ 的值（）

A、一定是零 B、一定是偶数 C、是整数但不一定是偶数 D、不能确定

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8. 将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）

A、98 B、100 C、102 D、104

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9. 最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（）

A、3号杯子 B、5号杯子 C、6号杯子 D、7号杯子

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10. 有四位同学一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB ， CD⊥AB ．则下列说法正确的是（）
甲说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE ，则能得到∠AGD＝∠ACB ． ”

乙说：“把甲的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB ，可得到∠CDG＝∠BFE ． ”

丙说：“∠AGD一定大于∠BFE ． ”

丁说：“如果连接GF ，则GF一定平行于AB ． ”

A、甲对乙错 B、乙错丁对 C、甲、乙对 D、乙、丙对

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二、解答题（共10题，共60分）

11. 怎样知道两名同学谁的铅球掷得远？体育课请进行实地操作．

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12. 如图，一个三角形纸片，不用任何工具，你能准确比较线段AB与线段AC的大小吗？试用你的方法分别确定线段AB、AC的中点．

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13. 老师在黑板上写了一个等式：（a+3）x=4（a+3）．王聪说x=4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由．

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14. 已知A=x﹣y+1，B=x+y+1，C=（x+y）（x﹣y）+2x，两同学对x、y分别取了不同的值，求出的A、B、C的值不同，但A×B﹣C的值却总是一样的．因此两同学得出结论：无论x、y取何值，A×B﹣C的值都不发生变化．你认为这个结论正确吗？请你说明理由．

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15. 发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如， ${(2 + 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} = 10$ 为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m ， n ，请论证“发现”中的结论符合题意．

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16. 古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 $m$ 表示大于1的整数， $a = 2 m$ ， $b = m^{2} - 1$ ， $c = m^{2} + 1$ ，那么 $a ， b ， c$ 为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

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17. p是质数，p²+3也是质数．求证：p³+3是质数．

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18. 用数学猜想解决问题
数学猜想即依据已知条件或已有结论，运用实验、观察、归纳、类比的方法，对研究的问题做出由特殊到一般的归纳推测．数学猜想是解决问题的常用方法，也是数学发展的重要思维式．

观察下列等式回答问题：

第一个等式： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$

第二个等式： $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

第三个等式： $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

第四个等式： $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$

(1)、由已知等式可猜想第n个等式为： $\frac{1}{n (n + 1)} =$ ．

(2)、求 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)}$ 的值（要求写出过程，结果用含n的代数式表示）

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19. 如图1所示， $∠ A O B$ 、 $∠ C O D$ 都是直角．

(1)、试猜想 $∠ A O D$ 与 $∠ C O B$ 在数量上的关系是相等、互余还是互补的关系？你能用推理的方法说明你的猜想是否正确吗？

(2)、当 $∠ C O D$ 绕着点O旋转到图2的位置时，你原来的猜想还成立吗？

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20. 观察下列各式及其验证过程：
$\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，验证： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3 + 2}{3}} = \sqrt{\frac{2^{3}}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ；
$\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ，验证： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3 \times 8 + 3}{8}} = \sqrt{\frac{3^{3}}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ；

(1)、按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $\sqrt{5 + \frac{5}{24}}$ 的变形结果并进行验证；

(2)、针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．

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2022-2023初数北师大版八年级上册7.1为什么要证明 同步练习

一、单选题（每题4分，共30分）

二、解答题（共10题，共60分）

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