高中数学人教A版（2019）必修一期中考试模拟试卷

试卷更新日期：2022-09-16 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {0 ， 1}$ ，则（）

A、 $B \in A$ B、A⫋B C、B⫋A D、 $A = B$

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$

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3. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， 2)$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x - 2)}{\sqrt{x - 3}}$ 的定义域为（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(2 ， 4)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(- 2 ， 3)$

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4. 下列各组函数中，是同一函数的是（）

A、 $y = x^{2}$ 与 $y = x \sqrt{x^{2}}$ B、 $y = \sqrt{x^{2}}$ 与 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ C、 $y = \frac{x^{2} + x}{x}$ 与 $y = x + 1$ D、 $y = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$ 与 $y = x$

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5. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + x$ ，若不等式 $f (2 t) > f (m + m t^{2})$ 对任意实数 $t$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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6. 已知定义域为 $[- 5 ， 5]$ 的函数 $f (x)$ 的图像是一条连续不断的曲线，且满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ．若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 5] ，$ 当 $x_{1} < x_{2}$ 时，总有 $\frac{f (x_{2})}{x_{1}} > \frac{f (x_{1})}{x_{2}}$ ，则满足 $(2 m - 1) f (2 m - 1) \leq (m + 4) f (m + 4)$ 的实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[- 1 ， 5]$ C、 $[- 2 ， 3]$ D、 $[- 2 ， 1]$

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7. 已知 $m i n {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， \\ b ， \end{array} \begin{array}{l} a \leq b \\ a > b \end{array} ，$ 设 $f (x)$ $= m i n {x - 2 ， - x^{2} + 4 x - 2}$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值是（）

A、-2 B、1 C、2 D、3

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + (\frac{3}{2} m - 1) x + 8 ， x < 2 \\ - \frac{m + 1}{x} ， x \geq 2 \end{matrix}$ 是 $R$ 上的减函数，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m < - 1$ B、 $m \geq - 2$ C、 $- 3 \leq m \leq - 2$ D、 $- 2 < m < - 1$

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二、多选题

9. 下列选项中， $p$ 是 $q$ 的充要条件的是（）

A、 $p$ ： $x y > 0$ ， $q$ ： $x > 0$ ， $y > 0$ B、 $p$ ： $A \cup B = A$ ， $q$ ： $B \subseteq A$ C、 $p$ ：三角形是等腰三角形， $q$ ：三角形存在两角相等 D、 $p$ ：四边形是正方形， $q$ ：四边形的对角线互相垂直平分

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10. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 0$ ， $e^{x} > 1$ ”的否定是“ $\exists x > 0$ ， $e^{x} \leq 1$ ” B、若“ $x < m$ ”是“ $x < 2019$ 或 $x > 2020$ ”的充分不必要条件，则实数 $m$ 的最大值为2019 C、“ $m \geq 2 \sqrt{2}$ ”是“函数 $y = 2 x^{2} - m x + 1$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 内有零点”的必要不充分条件 D、若函数 $f (x) = 3^{x} + \frac{a}{3^{x} + 1}$ ，的最小值为3，则 $a = \frac{9}{4}$

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11. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b}$ B、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ C、 $\frac{a^{2} + 1}{a} \cdot \frac{b^{2} + 1}{b}$ 的最小值为4 D、若 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为8

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |} (x \in R)$ ，以下结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $(- 1 ， 1)$ B、对任意 $x \in R$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} = f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ C、对任意 $x \in R$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ D、若规定 $f_{1} (x) = f (x)$ ， $f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x))$ ，其中 $n \in N *$ ，则 $f_{10} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12}$

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x)$ 经过点 $(2 ， \frac{1}{2})$ ，则 $f (x) =$ .

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14. 已知奇函数 $f (x)$ 满足当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + a x$ ，且 $f (- 1) = - 1$ ，则 $a =$ .

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15. 若函数 $f (x) = x^{2} + 2 k x - 2$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + a x^{2} (a > 0) ， g (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .若对任意 $x_{1} \in [- 1 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在① $A \cup B = B$ ；②“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件；③ $A \cap B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合 $A = {x | 2 a - 1 < x \leq a + 1}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 ▲ ，求实数a的取值范围．

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 9) x^{m - 3}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $(2 a - 1)^{m} > (a + 2)^{m}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{1 - x}{x}$ ．

(1)、若 $a > 0$ ，求 $f (- a)$ ；

(2)、当 $x < 0$ 时，求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若 $f (m) = \frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的值．

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20. 已知定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：
⑴ $\forall x ， y \in [- 1 ， 1] ， f (x + y) = f (x) + f (y)$ ；

⑵ $f (- 1) = 3$ ；

⑶ $\forall m ， n \in [- 1 ， 1]$ ，且 $m + n \neq 0$ ，都有 $(m + n) (f (m) + f (n)) < 0$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若不等式 $2 a t + 4 \leq f_{max} (x)$ 在 $a \in [- 1 ， 1]$ 上有解，求实数 $t$ 的取值范围.

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21. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形，面积为162平方米的三级污水处理池，平面图如图所示，池的深度一定，已知池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计，设水池的宽为x米，总造价为y元.

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、证明：函数 $y = f (x)$ 在 $[10 ， 20]$ 上单调递增；

(3)、当污水处理池的宽为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价.

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22. 若对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，使得 $x_{1} - x_{2} \in W$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \in W$ ，则称 $f (x)$ 是W陪伴的．

(1)、判断 $f (x) = 3 x - 1$ 是否为 $[0 ， + \infty)$ 陪伴的，并证明；

(2)、若 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 是 $[0 ， + \infty)$ 陪伴的，求a的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 是 ${2}$ 陪伴的，且是 $(0 ， + \infty)$ 陪伴的，求证： $f (x)$ 是 $(2 ， 4)$ 陪伴的．

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高中数学人教A版（2019） 必修一 期中考试模拟试卷

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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