高中数学人教A版（2019）必修一第二章一元二次函数、方程和不等式

试卷更新日期：2022-09-16 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in R | x^{2} - 4 x < 0}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知不等式 $a x^{2} - b x - a^{3} \geq 0$ 的解集是 $[- 4 ， 1]$ ，则 $a^{b}$ 的值为（）

A、-64 B、-36 C、36 D、64

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3. 已知实数 $x > 3$ ，则 $4 x + \frac{9}{x - 3}$ 的最小值是（）

A、24 B、12 C、6 D、3

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4. “ $\forall x \in R, a x^{2} + a x + 1 > 0$ 恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A、 $0 \leq a < 4$ B、 $a > 4$ C、 $0 < a < 3$ D、 $0 \leq a < 5$

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5. 已知点 $Р$ 是以 $A B$ 为直径的圆上任意一点，若 $A B = 2,$ 则 $P A + P B$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $3 \sqrt{2}$ D、4

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6. 如图，电路中电源的电动势为 $E$ ，内阻为 $r$ ， $R_{1}$ 为固定电阻， $R_{2}$ 是一个滑动变阻器，已知 $R_{2}$ 消耗的电功率为 $P = {(\frac{E}{r + R_{1} + R_{2}})}^{2} R_{2}$ ，当 $R_{2}$ 消耗的电功率 $P$ 最大时， $r ， R_{1} ， R_{2}$ 之间的关系是（）

A、 $r + R_{2} = R_{1}$ B、 $r + R_{1} = R_{2}$ C、 $\frac{R_{1}}{r} = R_{2}$ D、 $R_{1} + R_{2} = r$

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7. 数学里有一种证明方法叫做 $P r o o f w i t h o u t w o r d s$ ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形 $A B C D$ 为矩形，三角形 $B C E$ 为等腰直角三角形，设 $A B = \sqrt{a}$ ， $B C = \sqrt{b} (a > 0 ， b > 0)$ ，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（）

A、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ B、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$

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8. 若 $x y$ 是正数，则 ${(x + \frac{1}{2 y})}^{2} + {(y + \frac{1}{2 x})}^{2}$ 的最小值是（）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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二、多选题

9. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | - 3 < x < 2}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a + b + c > 0$ C、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 ${x | x > 6}$ D、不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}}$

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b}$ B、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ C、 $\frac{a^{2} + 1}{a} \cdot \frac{b^{2} + 1}{b}$ 的最小值为4 D、若 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为8

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11. 设 $a > 1$ ， $b > 1$ ，且 $a b - (a + b) = 1$ ，那么（）

A、 $a + b$ 有最小值 $2 (\sqrt{2} + 1)$ B、 $a + b$ 有最大值 ${(\sqrt{2} + 1)}^{2}$ C、ab有最大值 $5 + 2 \sqrt{2}$ D、ab有最小值 $3 + 2 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 8 ， x \leq 1 \\ x + \frac{4}{x} + 2 a ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 的最小值为 $f (1)$ ，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、1 B、 $\frac{5}{4}$ C、2 D、4

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三、填空题

13. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a b = 4$ ，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ 的最小值为.

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14. 命题“ $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $x^{2} - 3 a x + 9 < 0$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围为.

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15. 对任意 $x \in R$ ，一元二次不等式 $(k - 1) x^{2} + (k - 1) x - \frac{3}{8} < 0$ 都成立，则实数k的取值范围为．

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16. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{3 x^{2} + 5 y^{2} + 2 x + 4 y}{x y}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 2 \leq x < 5}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x - 4 > 0}$ ， $C = {x | a < x < a + 6}$ .

(1)、求 $(∁_{U} A) ∪ B$ ；

(2)、若 $B ∪ C = R$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18.

(1)、比较 $a^{2} + 13$ 与 $6 a + 3$ 的大小；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (3 m + 1) x + 2 m^{2} + 2 m \leq 0$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x + m$ ．

(1)、当 $m = - 6$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、当 $m > 0$ 时， $f (x) < 0$ 的解集为 $(a ， b)$ ，求 $\frac{a + 1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值．

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20. 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

(1)、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a b} \geq 8$ ；

(2)、 $(1 + \frac{1}{a}) (1 + \frac{1}{b}) \geq 9$ .

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21. 2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游. 2021年上半年接待游客逾5万人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有400户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为4万元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员 $x (x > 0 ， x \in N)$ 户从事乡村旅游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高 $\frac{x}{100}$ ，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为 $4 (a - \frac{x}{25}) (a > 0)$ 万元. 在动员 $x$ 户从事乡村旅游后，还要确保剩下的 $400 - x$ 户从事种植业的所有农户年总收入不低于原先400户从事种植的所有农户年总收入.

(1)、求 $x$ 的取值范围；

(2)、要使从事乡村旅游的这 $x$ 户的年总收入始终不高于 $400 - x$ 户从事种植业的所有农户年总收入，求 $a$ 的最大值.
（参考数据： $\frac{200}{\sqrt{3}} \approx 115.5$ ， $\frac{400}{115} \approx 3.48$ ， $\frac{400}{116} \approx 3.45$ ）

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22.

(1)、对一切正整数 $n$ ，不等式 $\frac{2 x - 1}{x} > \frac{n}{n + 1}$ 恒成立，求实数x的取值范围构成的集合.

(2)、已知 $x, y$ 都是正实数，且 $x + y - 3 x y +5 = 0$ ，求 $x y$ 的最小值及相应的 $x, y$ 的取值.

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高中数学人教A版（2019） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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