浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2022-09-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， λ)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、-3 B、-1 C、3 D、7

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2. $\frac{1 + 2 i}{1 - 2 i} =$ （）

A、 $- \frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$

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3. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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4. 设 $m$ ， $n$ 为不重合的两条直线， $α$ ， $β$ 为不重合的两个平面，下列命题错误的是（）

A、若 $m ⊥ α$ 且 $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ α$ 且 $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ∥ α$ 且 $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $α ∥ β$ 且 $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$

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5. 函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + x) c o s x$ 的部分大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 3 \vec{C A} \cdot \vec{A B}$ ，则 $A - B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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7. 如图，各棱长均相等的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $M$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点，点 $N$ 为棱 $C C_{1}$ 的三等分点（靠近 $C_{1}$ ），点 $P$ 为棱 $B B_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $B_{1} - M N P$ 体积为定值 B、三棱锥 $A_{1} - N P B_{1}$ 体积为定值 C、当 $B_{1} P = P B$ 时，三棱柱被截面 $M N P$ 分成的上下两部分体积相等 D、当 $B_{1} P = 2 P B$ 时，三棱柱被截面 $M N P$ 分成的上下两部分体积相等

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8. 已知函数 $f (x) = s i n x + a c o s x$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > \sqrt{2} - 1$ B、 $a \geq 1$ C、 $a > 1 - \sqrt{2}$ D、 $a \geq - 1$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 以 $x$ 正半轴为始边，终边与单位圆（原点为圆心）交于点 $(- \frac{1}{2} ， n)$ ，则符合条件的角 $α$ 可以是（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{3}$

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10. 已知非零实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a < b < c$ ， $a + b + c > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a c < b c$ B、 $b^{2} > a c$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{c}$ D、 $(c + 2 b) (a + 2 c) > 0$

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11. 已知 $x > 0$ 时， $x > l o g_{2} x$ ，则关于函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，下列说法正确的是（）

A、方程 $f (x) = x$ 的解只有一个 B、方程 $f (f (x)) = 1$ 的解有五个 C、方程 $f (f (x)) = t (0 < t < 1)$ 的解有五个 D、方程 $f (f (x)) = t (t > 1)$ 的解有五个

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12. 如图三棱锥 $A - B C D$ 的所有棱长均相等， $M$ 、 $N$ 为棱 $A D$ 、 $B C$ 上（包括端点）的动点，直线 $M N$ 与平面 $A B C$ 、平面 $B C D$ 所成的角分别为 $α$ 、 $β$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $s i n α - s i n β$ 正负与点 $M$ 、点 $N$ 位置都有关 B、 $s i n α - s i n β$ 正负由点 $M$ 确定，与点 $N$ 位置无关 C、 $s i n α + s i n β$ 最大为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $s i n α + s i n β$ 最小为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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三、填空题

13. 已知圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为．

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14. 函数 $y = a^{1 - x} + 2 (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $A$ ，若点 $A$ 在直线 $m x + n y - 1 = 0 (m n > 0)$ 上，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为．

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15. 已知 $a^{3} = b$ ， $l o g_{a} b = \frac{b}{a}$ ，则 $3 a + b =$ ．

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16. 如图，正 $△ A B C$ 的外接圆 $O$ 半径为 $\frac{5}{9}$ ，点 $M$ 是劣弧 $A B$ 上的一动点，则 $(\vec{M O} - \frac{\vec{M A}}{| \vec{M A} |} - \frac{\vec{M B}}{| \vec{M B} |}) \cdot \vec{M C}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 设 $a$ 是实数，复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = (a + i) (1 - i)$ （ $i$ 是虚数单位）．

(1)、 $z_{2}$ 在复平面内对应的点在第一象限，求 $a$ 的取值范围；

(2)、求 $| \bar{z_{1}} + z_{2} |$ 的最小值．

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18. 已知集合 $M = {x | - 2 < x \leq 4}$ ，集合 $N = {x | - 4 < x - m < 4}$ ．

(1)、若 $M ⊊ ∁_{R} N$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、是否存在实数 $m$ ，使得 $x \in ∁_{R} M$ 是 $x \in ∁_{R} N$ 的必要不充分条件？若存在，求实数 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6}) + \sqrt{3} s i n (\frac{π}{3} + 2 x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， t]$ 上存在最小值，求实数 $t$ 的取值范围．

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20. 已知梯形木板 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $A D = B C = 2$ 米， $A B = 3 C D = 3$ 米，现要把木板沿线段 $M N$ 锯成面积相等的两部分，其中点 $M$ 在线段 $A B$ 上， $N$ 在另外的三条边上．

(1)、当 $N$ 在线段 $B C$ 上，设 $B M = m$ 米， $B N = n$ 米，求 $m n$ 的值；

(2)、求锯痕 $M N$ 的最小值．

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21. 用文具盒中的两块直角三角板（ $45 °$ 直角三角形和 $30 °$ 直角三角形）绕着公共斜边翻折成 $30 °$ 的二面角，如图 $R t △ A B C$ 和 $R t △ D B C$ ， $A B = A C$ ， $B C = 2 B D = 2$ ， $∠ A = 90 °$ ， $∠ D = 90 °$ ，将 $R t △ A B C$ 翻折到 $A^{'} B C$ ，使二面角 $A^{'} - B C - D$ 成 $30 °$ ， $E$ 为边 $C D$ 上的点，且 $C E = 2 E D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥ A^{'} E$ ；

(2)、求直线 $A^{'} D$ 与平面 $A^{'} B C$ 所成角的正弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = x \cdot | x - a | + b x (a ， b \in R)$ ．

(1)、 $a = b = 0$ 时，①求不等式 $f (x) < 4$ 的解集；②若对任意的 $x \geq 0$ ， $f (x + m) - m^{2} f (x) < 0$ ，求实数 $m$ 取值范围；

(2)、若存在实数 $a$ ，对任意的 $x \in [0 ， m]$ 都有 $f (x) \leq (b - 1) x + 4$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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