浙江省精诚联盟2022-2023学年高二上学期数学开学联考试卷

试卷更新日期：2022-09-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R ， M = {x ∣ - 3 < x < 0} ， N = {x ∣ x < - 1}$ ，则 $M ∩ ∁_{U} N =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x < 0}$ B、 ${x ∣ x \geq - 1}$ C、 ${x ∣ - 3 < x < 0}$ D、 ${x ∣ x \leq - 3}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z = - 3 + 4 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、5 C、7 D、25

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3. 下列说法中正确的是（）

A、用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B、上下底面全等，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C、棱台的底面是两个相似的正方形 D、棱台的侧棱延长后必交于一点

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4. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”是“ $b > a > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克･艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道､独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从所有的小正方体中任取一个，恰好抽到中心方块的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 设 $m ， n$ 是空间中不同的直线， $α ， β$ 是不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $n ∥ m ， m \subset α$ ，则 $n ∥ α$ B、 $m ⊥ α ， n \subset β ， α ⊥ β$ 则 $m ∥ n$ C、若 $α ∥ β ， m \subset α$ ，则 $m ∥ β$ D、若 $m \subset α ， n \subset β ， α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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7. 已知 $0.3010 < l g 2 < 0.3011$ ，则 $l o g_{4} 2022$ 属于（）

A、 $(5.3 ， 5.4)$ B、 $(5.4 ， 5.5)$ C、 $(5.5 ， 5.6)$ D、 $(5.6 ， 5.7)$

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8. 平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (2 ， 0) ， B (1 ， \sqrt{3}) ， C (3 ， \sqrt{3})$ ，下列说法不正确的是（）

A、若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + (1 - x) \vec{O B} (x \in R)$ ，则 $| \vec{O P} |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ B、若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + (1 - x - y) \vec{O C} (x ， y ， x + y \in [0 ， 1])$ ，则 $| \vec{O P} |$ 的最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} ， | x | + | y | \leq 1$ ，则点 $P$ 表示的平面区域的面积为 $4 \sqrt{3}$ D、若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C} ， | x | + | y | + z \leq 1 ， z \geq 0$ ，则点 $P$ 表示平面区域的面积为 $8 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 关于一组样本数据的平均数､中位数､频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（）

A、改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变 B、频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等 C、若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 D、样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小

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10. 下列选项正确的是（）

A、对 $\forall x \in R ， x + \frac{1}{x + 1}$ 的最小值为1 B、若 $a b < 0$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的最大值为-2 C、若 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{\sqrt{a b}}$ D、若正实数 $x ， y$ 满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为8

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11. 要得到 $y = s i n x$ 的图象，可以将函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{5})$ 的图象上所有的点（）

A、向右平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍 B、向左平行移动 $\frac{π}{10}$ 个单位长度，再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍 C、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再把所得各点向右平行移动 $\frac{π}{10}$ 个单位长度 D、横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平行移动 $\frac{π}{5}$ 个单位长度

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12. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} M$ $∥$ 平面 $A C D_{1}$ B、几何体 $A_{1} B C_{1} - A C D_{1}$ 的外接球半径 $r = \sqrt{2}$ C、异面直线 $C D$ 与 $A_{1} M$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、面 $A_{1} D M$ 与底面 $A B C D$ 所成角正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{6}}{3}]$

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三、填空题

13. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则恰好有一次正面朝上的概率为.

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14. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为.

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15. 我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役二百五十人，则北乡遣人.

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16. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{c} | = 2$ ，则 $| \vec{a} | + | \vec{b} | \cdot | \vec{c} |$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试.试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为 $p$ ，乙同学答对每题的概率都为 $q (p > q)$ ，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同时答对的概率为 $\frac{1}{3}$ ，恰有一人答对的概率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $p$ 和 $q$ 的值；

(2)、试求两人共答对3道题的概率.

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18. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + B (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间，若当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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19. 已知 $△ A B C$ 的角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ， $C = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ ，设向量 $\vec{m} = (a ， b) ， \vec{n} = (s i n B ， s i n A) ， \vec{p} = (b - 2 ， a - 2)$ .

(1)、若 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $\vec{m} ⊥ \vec{p}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 图1是由矩形 $A D E B$ ､Rt $△ A B C$ 和菱形 $B F G C$ 组成的一个平面图形，其中 $A B = 1 ， B E = B F = 2 ， ∠ F B C = 6 0^{∘}$ ，将其沿 $A B ， B C$ 折起使得 $B E$ 与 $B F$ 重合，连接 $D G$ ，如图2.

(1)、证明：图2中的 $C G$ $∥$ 平面 $A B E D$ ；

(2)、图2中连接 $A E$ ，求 $A E$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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21. 浙江某校为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：
分组
$[0 ， 30)$
$[30 ， 60)$
$[60 ， 90)$
$[90 ， 120)$
$[120 ， 150)$
$[150 ， 180]$
男生人数
2
16
18
18
6
3
女生人数
3
20
9
2
2
1
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.

(1)、若将频率视为概率，估计该校3500名学生中“锻炼达人”有多少？

(2)、从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取8人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这8人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.

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22. 设函数 $f (x) = 2 a x^{2} - (a + b) x + b$ ，其中 $a > 0 ， b$ 为任意常数.

(1)、若 $a = 1$ ，且函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上不单调，求实数 $b$ 的取值范围；

(2)、如果不等式 $| f (x) | \leq m a x {f (0) ， f (2)}$ 在 $x \in [0 ， m]$ 上恒成立，求 $m$ 的最大值.

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分组	$[0 ， 30)$	$[30 ， 60)$	$[60 ， 90)$	$[90 ， 120)$	$[120 ， 150)$	$[150 ， 180]$
男生人数	2	16	18	18	6	3
女生人数	3	20	9	2	2	1