辽宁省营口地区2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2022-09-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知 $z = (4 + 3 i) (2 + i)$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为30°，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、7 C、 $\sqrt{7}$ D、3

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3. 在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2，则该“堑堵”的表面积为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 \sqrt{2} + 3$ C、 $4 \sqrt{2} + 4$ D、 $4 \sqrt{2} + 6$

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4. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $P$ 为 $O G$ 的中点，则 $\vec{A P} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$

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5. 如图，水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图是图中的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若 $A^{'} C^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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6. 如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点60 $m$ 的B点测得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（）（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.4$ ）

A、38m B、44m C、40m D、48m

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7. 我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底､长方形足､器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则其体积约为（）（参考数据： $\sqrt{131.25} \approx 11.5$ ， $\sqrt{162} \approx 12.7$ ）

A、 $7460.8 c m^{3}$ B、 $871.3 c m^{3}$ C、 $1735.3 c m^{3}$ D、 $2774.9 c m^{3}$

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8. 已知角A，B，C是 $△ A B C$ （非直角三角形）的三个内角， $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，且 $\vec{G B} \cdot \vec{G C} = 0$ ， $B C = 2$ ，则 $\frac{t a n A}{t a n C} + \frac{t a n A}{t a n B} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 3 ， 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 6$ B、 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 6$ C、 $(\vec{a} + 5 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ D、 $\vec{a} / / (\vec{b} - \vec{c})$

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10. 已知 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列说法不正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ B、若 $n / / α$ ， $α / / β$ ，则 $n / / β$ C、若 $n / / α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $n ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ， $α / / β$ ，则 $n ⊥ β$

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $c o s A = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{3}{2}$ B、 $△ A B C$ 外接圆的半径为3 C、 $c = \sqrt{6}$ D、 $c = 2 \sqrt{2}$

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12. 已知复数 $z_{1}$ 满足 $z_{1}^{2} + 2 | z_{1} | = 0$ ，复数 $z_{2}$ 满足 $| z_{2} + 2 | = \sqrt{2}$ ，则 $| z_{1} - z_{2} |$ 的值可能为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $4 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. $- 2 i + 3$ 的共轭复数为.

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14. 已知 $s i n α = 3 c o s α$ ，则 $\frac{1 - 3 s i n α c o s α}{2 c o s 2 α + 4} =$ .

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15. 已知点P在 $△ A B C$ 所在平面内，O为空间中任一点，若 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + x \vec{O C}$ ，则 $x =$ .

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16. 已知向量 $\vec{A B} = (5 ， 8)$ ， $\vec{A C} = (m ， 9)$ ， $\vec{C D} = (3 ， - 2)$ .写出m的一个值：，使得 $\vec{A D} ⊥ \vec{B C}$ ，此时 $| \vec{A D} | =$ .

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四、解答题

17. 已知 $A (- 1 ， 2 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 5 ， 4)$ ， $C (1 ， 3 ， 4)$ .

(1)、求 $⟨ \vec{A B} ， \vec{B C} ⟩$ ；

(2)、求 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 上投影的数量.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $c = 2 \sqrt{3}$ ，且 $\frac{c o s A + c o s C}{s i n B} = \frac{s i n B + s i n A}{c o s A - c o s C}$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若D为AB的中点，且 $C D = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B = B C = A C$ ， $A A_{1} = 2 A B$ ， D是BC的中点.

(1)、证明： $A_{1} B ∥$ 平面 $A C_{1} D$ .

(2)、求直线AC与平面 $A C_{1} D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以a，b，c为边长的三个正方形的面积依次为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，且 $S_{1} + S_{2} - S_{3} = a b$ .

(1)、求C；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，求 $S_{△ A B C}$ 的取值范围.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $a < b < c$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $c o s (2 A + C) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求 $c o s (A + C)$ ；

(2)、求 $s i n 2 A$ .

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22. 如图，在直角梯形ABCD中， $A B ⊥ A D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ，沿对角线BD将 $△ A B D$ 折至 $△ A^{'} B D$ 的位置，记二面角 $A^{'} - B D - C$ 的平面角为 $θ$ .

(1)、当 $θ = 90 °$ 时，求三棱锥 $A^{'} - B C D$ 的体积；

(2)、若E为BC的中点，当 $θ = 120 °$ 时，求二面角 $A^{'} - D E - B$ 的正弦值.

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