江西省省重点校联盟2022-2023学年高二上学期数学入学摸底联考试卷

试卷更新日期：2022-09-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | y = \sqrt{2 - x}}$ ， $B = {y | y = \sqrt{2 - x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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2. 已知平面向量 $\vec{a} = (x ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3 - x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数x的值为（）

A、1 B、2 C、6 D、1或2

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3. “ $x_{0} = - \frac{π}{4} + k π$ ， $k \in Z$ ”是“函数 $f (x) = t a n (x + \frac{π}{4})$ 的图象关于点 $(x_{0} ， 0)$ 对称”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）.小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线 $D F$ ，将自制测量仪器分别放置于 $D$ ， $E$ 两处进行测量.如图，测量仪器高 $A D = 2$ m，点 $P$ 与滕王阁顶部平齐，并测得 $∠ C B P = 2 ∠ C A P = 60 °$ ， $A B = 64$ m，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）（）

A、50m B、55.5m C、57.4m D、60m

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $B C$ 上， $∠ A D B = 60 ° ， A D = B D = 2 C D = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M在线段 $C C_{1}$ 上，记平面 $B D M ∩$ 平面 $B_{1} D_{1} M = l$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与l所成角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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7. 《中华人民共和国国家标准污水综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15mg/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450mg/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少 $\frac{1}{3}$ ，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，最少要进行循环的次数为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、8 B、9 C、10 D、11

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8. 已知函数 $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ ，则不等式 $f (x + 3) - f (x) + \frac{1}{2} > 0$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 设复数 $z = i + 2 i^{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、z的共轭复数为 $2 - i$ B、z的虚部为1 C、z在复平面内对应的点位于第二象限 D、 $| z + 1 | = \sqrt{2}$

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10. 下列计算正确的是（）

A、 $\frac{t a n 15 ° + 1}{t a n 15 ° - 1} = - \sqrt{3}$ B、 $c o s^{4} 22.5 ° - s i n^{4} 22.5 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $s i n 15 ° s i n 45 ° s i n 75 ° = \frac{\sqrt{2}}{8}$ D、 $t a n 37 ° + t a n 23 ° + \sqrt{3} t a n 37 ° t a n 23 ° = 1$

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11. 已知x>0，y>0，且x+2y=3，则下列正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为3 B、 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y}$ 的最大值为6 C、xy的最大值为 $\frac{9}{8}$ D、 $2^{x + 1} + 4^{y} \geq 8$

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12. 如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且AE：EB=AH：HD=m，CF：FB=CG：GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=2.下列结论正确的是（）

A、E，F，G，H一定共面 B、若直线EF与GH有交点，则交点不一定在直线AC上 C、AC∥平面EFGH D、当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值2

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三、填空题

13. 驾照考试一共有四个科目：科目一（驾驶员理论考试）、科目二（场地驾驶技能考试）、科目三（道路驾驶技能考试）、科目四（安全文明驾驶常识考试）．只有四个科目都通过才能取得驾照．若某学员四个科目通过的概率依次是0.9、0.8、0.8、0.9，且每个科目是否通过相互之间没有影响，则该学员拿到驾照的概率为．

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14. 若将函数 $f (x) = s i n ω x (ω > 0)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后关于y轴对称，则实数 $ω$ 的最小值为．

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15. 用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥与圆台的侧面积之比为 $\frac{1}{8}$ ，则小圆锥与圆台的体积之比为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{3} x | ， 0 < x < 3 \\ s i n \frac{π x}{6} ， 3 \leq x \leq 15 \end{array}$ ，方程 $f (x) = m$ 有四个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ．

(1)、实数m的取值范围为；

(2)、 $x_{1} x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的值为．

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四、解答题

17. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近C的三等分点，点F是CD的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 分别表示 $\vec{A F}$ 与 $\vec{B E}$ ；

(2)、利用向量法证明：B，E，F三点共线．

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18. 已知函数 $f (x) = c o s x (2 \sqrt{3} s i n x + c o s x) - s i n^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时，关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq m$ ， __________，求实数 $m$ 的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立．

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19. 2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了60名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、若该中学参加这次竞赛的共有2000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；

(2)、估计参加这次竞赛的学生成绩的80%分位数；

(3)、若在抽取的60名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，则从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了多少人？

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20. 已知在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b = 7$ ， $a c o s B + b c o s A = 2 c c o s B$ ．

(1)、求 $\frac{a}{s i n A}$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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21. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，PA垂直于 $⊙ O$ 所在的平面，C是圆周上不同于A､B的任意一点，且 $P A = A B$ .求证：

(1)、平面 $P A C ⊥$ 平面PBC；

(2)、当点C（不与A､B重合）在圆周上运动时，求平面PBC与 $⊙ O$ 所在的平面所成二面角大小的范围.

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22. 已知 $f (x) = l o g_{2} (a x + 1) (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (3 x - 2)$ 的定义域及不等式 $f (3 x - 2) > 0$ 的解集；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + l o g_{2} x$ 只有一个零点，求实数a的取值范围．

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