湖南省怀化市2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2022-09-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < a}$ ， $B = {0 ， 3}$ ，若 $B ⊊ A$ ，则a的取值范围是（）

A、 ${a | a \geq 3}$ B、 ${a | a > 3}$ C、 ${a | a > 0}$ D、 ${a | a \geq 0}$

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2. 已知复数z满足 $z + 1 = 3 i + | z |$ ，则 $| z | =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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3. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{1}{4}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 冈珀茨模型 $(y = k \cdot a^{b t})$ 是由冈珀茨（Gompertz）提出的，可作为动物种群数量变化的模型，也可用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种 $t$ 年后的种群数量 $y$ 近似满足冈珀茨模型 $y = k_{0} \cdot e^{1.4 e - 0.125 t}$ （ $k_{0} > 0$ ，当 $t = 0$ 时表示2022年初的种群数量），经过 $n$ 年后 $(n \in N)$ ，当该物种的种群数量不足2022年初种群数量的 $20 %$ 时，即将有濒临灭绝的危险，则 $n$ 的最小值为（参考数据： $l n 5 ≈ 1.5625$ ）（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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5. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{P A} = (- 1 ， 2 ， 2)$ ， $\vec{A B} = (1 ， 2 ， - 3)$ ， $\vec{A C} = (0 ， - 1 ， 2)$ ，则该四棱锥的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ B、 $\frac{7 \sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ D、 $\frac{7 \sqrt{6}}{6}$

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6. 已知 $f (x)$ 是偶函数， $g (x)$ 是奇函数，定义域均为 $[- 1 ， 1]$ ，二者在 $[0 ， 1]$ 上的图象如图所示，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) g (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， - \frac{1}{2}) ∪ (0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0) ∪ (0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 0) ∪ (\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(- 1 ， - \frac{1}{2}) ∪ (\frac{1}{2} ， 1)$

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $c^{2} + 2 b^{2} = 3 a^{2}$ ，则 $s i n A$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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8. 已知甲箱有2个红球和2个白球，乙箱有3个红球和3个白球，现任选1个箱子并从中任取1个球，记下球的颜色后将球放入另1个箱子内，再任选1个箱子并任取1个球，若两次取出的球的颜色相同为“成功”，则（）

A、两次都从甲箱取球时“成功”的概率最大 B、两次都从乙箱取球时“成功”的概率最大 C、先从甲箱取球再从乙箱取球时“成功”的概率最大 D、先从乙箱取球再从甲箱取球时“成功"”的概率最大

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二、多选题

9. 已知空间中三点 $A (2 ， 1 ， - 1)$ ， $B (1 ， 0 ， 2)$ ， $C (0 ， 3 ， - 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{A B} | = \sqrt{11}$ B、 $A B ⊥ A C$ C、 $c o s ∠ A B C = \frac{\sqrt{11}}{19}$ D、A，B，C三点共线

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10. 小军进入高一后的12次数学考试成绩如下：
110，95，90，102，120，100，110，115，98，125，106，130，则（）

A、这12次数学考试成绩的极差为40 B、这12次数学考试成绩的众数为110 C、这12次数学考试成绩的50%分位数比40%分位数多5 D、在这12次数学考试成绩中，120分及以上数学成绩的标准差为 $\frac{5 \sqrt{6}}{3}$

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11. 已知 $a > 1$ ， $b > 2$ ，且 $a b = 2 a + b - 1$ ，则（）

A、 $a + b$ 有最小值5 B、 $a + b$ 有最小值6 C、ab有最大值 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、ab有最小值 $3 + 2 \sqrt{2}$

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12. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，中，E为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为60°，则（）

A、动点F的轨迹周长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{9} π$ B、动点F的轨迹周长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ C、直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围为 $[0 ， \frac{\sqrt{3}}{4}]$ D、直线EF与直线BC所成角的余弦值的取值范围为 $[0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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三、填空题

13. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{c} = (- 2 ， 2 ， m)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则 $m =$ .

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14. 现有一组数据1，2，3，4，5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于3的概率为.

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15. 在四面体ABCD中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $C D = A D = 2 \sqrt{2}$ ，且 $A B ⊥ B C$ ，则几何体ABCD的外接球的体积为.

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $C D ⊥ C B$ ， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $E$ 为线段 $C D$ 的中点， $F$ 为线段 $A B$ 上一动点，且 $\vec{E F} = λ \vec{D A} + μ \vec{C B}$ ，则 $λ$ 的最大值与最小值的比值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $a = 1$ ， $2 s i n B c o s A = b s i n A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $s i n^{2} A = 3 s i n B s i n C$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩（满分：100分），按 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求直方图中a的值；

(2)、试估计本次竞赛成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(3)、该校准备对本次竞赛中分数位于前20%的学生颁发荣誉证书，试问获得荣誉证书的学生分数不低于多少？

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19. 如图，已知圆锥的顶点为 $P$ ，底面圆 $O$ 的直径 $A B$ 长为 $4$ ，点 $C$ 是圆上一点， $∠ B O C = 4 5^{∘}$ ，点 $D$ 是劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 上的一点，平面 $P C D ∩$ 平面 $P A B = l$ ，且 $l / / A B$ .

(1)、证明：平面 $P O C ⊥$ 平面 $P O D$ .

(2)、当三棱锥 $P - O C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ 时，求点 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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20. 为有效控制我国儿童和青少年近视发病率，提高儿童和青少年的视力健康水平，教育部发文鼓励和倡导学生积极参加乒兵球、羽毛球等有益于眼肌锻炼的体育活动.某学校提倡学生利用暑期的早上和晚上参加体育锻炼活动，已知甲、乙两位同学都选择羽毛球作为暑期的体育锻炼活动，这两位同学过去30天的安排如下表：
锻炼项目（早上，晚上）
（羽毛球，休息）
（休息，羽毛球）
（休息，休息）
（羽毛球，羽毛球）
甲
10天
10天
5天
5天
乙
8天
7天
5天
10天
假设甲、乙每天的选择相互独立，用频率代替概率.

(1)、在过去的30天内任取一天，求甲同学在这一天中参加了羽毛球活动的概率；

(2)、只考虑早上和晚上参加体育缎炼活动的情况，且早上和晚上都参加体育锻炼活动视为参加了2次锻炼，求甲、乙两位同学在一天中参加锻炼的次数之和为2的概率.

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21. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ E A D = 60 °$ .四边形 $C D E F$ 为矩形.在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = B C = 2 A D$ .

(1)、点 $G$ 在线段 $B E$ 上，且 $\vec{B G} = μ \vec{B E}$ ，是否存在实数 $μ$ ，使得 $A G ∥ D F$ ？若存在，求出 $μ$ 的值；若不存在，请说明理由.

(2)、点 $P$ 在线段 $D F$ 上，求直线 $B P$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称.

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ，求 $f (x)$ 的解析式.

(2)、若 $x = - \frac{π}{4}$ 是 $f (x)$ 的零点，是否存在实数 $ω$ ，使得 $f (x)$ 在 $(\frac{7 π}{18} ， \frac{5 π}{9})$ 上单调？若存在，求出 $ω$ 的取值集合；若不存在，请说明理由.

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锻炼项目（早上，晚上）	（羽毛球，休息）	（休息，羽毛球）	（休息，休息）	（羽毛球，羽毛球）
甲	10天	10天	5天	5天
乙	8天	7天	5天	10天