河南省豫西名校2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2022-09-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 < x < 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $(- 3 ， 2)$

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2. $3 \vec{A B} + 2 \vec{B C} - \vec{A C} =$ （）

A、 $\vec{A B} + \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} - \vec{A C}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{B A}$

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3. $s i n 62 ° c o s 32 ° + s i n 32 ° c o s 118 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 若 $z = 2 - i$ ，则 $| \frac{5 \bar{z}}{z} - 2 i | =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{13}$ D、13

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5. 某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度y（单位：度）与昼夜温差x（单位：℃， $5 \leq x \leq 35$ ）近似满足函数模型 $y = \frac{1}{l n 2} \cdot l n (x - 3) + 10$ ．当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度约为（参考数据： $l o g_{2} 3 \approx 1.585$ ）（）

A、14.4 B、14.6 C、14.8 D、15.1

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6. 已知m，n为两条不同的直线， $α$ 与 $β$ 为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）

A、若 $m ∥ α ， m \subset β ， α ∩ β = n$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ⊄ α ， n \subset α ， m ∥ n$ ，则 $m ∥ α$ C、若 $m ∥ n ， m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ D、若 $m ⊥ n ， α ⊥ β ， m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ β$

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7. 若关于x的不等式 $x^{2} - a x + 7 > 0$ 在 $(2 ， 7)$ 上有实数解，则a的取值范围是（）

A、 $(- ∞ ， 8)$ B、 $(- ∞ ， 8]$ C、 $(- \infty ， 2 \sqrt{7})$ D、 $(- \infty ， \frac{11}{2})$

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8. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b s i n A - a c o s B = 0$ ， $a = 3$ ， $c = \sqrt{2}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识；为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷．这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下：
则下列说法错误的是（）

A、讲座后问卷答题的正确率的中位数为87.5% B、讲座后问卷答题的正确率的众数为85% C、讲座后问卷答题的正确率的第75百分位数为95% D、讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后问卷答题的正确率的标准差

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是棱BC的中点，F在棱 $C_{1} D_{1}$ 上，且 $D_{1} F = 3 C_{1} F$ ， O是正方形ABCD的中心，则异面直线 $A_{1} O$ 与EF所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{22}}{6}$

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11. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 1) + f (5 - x) = 0$ ，当 $0 \leq x \leq 3$ 时， $f (x) = x^{2} + a x$ ，则 $f (100) =$ （）

A、-3 B、3 C、-2 D、2

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12. 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢3局者胜，分出胜负即停止比赛.已知前3局每局甲赢的概率为 $\frac{3}{5}$ ，之后每局甲赢的概率为 $\frac{2}{5}$ ，每局比赛没有平局，则打完第5局比赛结束的概率为（）

A、 $\frac{162}{625}$ B、 $\frac{234}{625}$ C、 $\frac{324}{625}$ D、 $\frac{396}{625}$

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二、填空题

13. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 5 \sqrt{6}$ ， $A = \frac{π}{4}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则 $b =$ ．

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14. 请写出一个能够说明“若复数 $z^{2} < 0$ ，则 $z \in R$ ”是假命题的复数： $z =$ ．

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15. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且 $A C = 3 A B = 3 B D$ ，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是．

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16. 将函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到偶函数 $g (x)$ 的图像，则 $ω$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 已知A，B，C三点的坐标分别为 $A (1 ， - 1)$ ， $B (- 2 ， 1)$ ， $C (m ， 2)$ ，是否存在实数m，使得A，B，C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．

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18. 某校为了保障体艺节顺利举办，从高一、高二两个年级的同学中挑选了志愿者60人，人数如下表所示：
高一年级
高二年级
男同学
女同学
男同学
女同学
16
12
8
24

(1)、从所有志愿者中任意抽取一人，求抽到的这人是女同学的概率；

(2)、用等比例分层随机抽样的方法从所有的女志愿者中按年级抽取六人，再从这六人中随机抽取两人接受记者采访，求这两人中恰有一人来自高一年级的概率.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为等腰梯形， $A B / / C D$ ， $A B = A P = B P = 2 A D = 2 C D = 4$ ， E为AP的中点．

(1)、证明： $D E / /$ 平面PBC．

(2)、求四棱锥 $E - A B C D$ 外接球的表面积．

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20. $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $a c s i n B = 4 b s i n A$ ．

(1)、若 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的最小值；

(2)、若 $C = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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21. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $E ， F$ 分别是棱 $B B_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点．

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $A C C_{1}$ ．

(2)、若 $A A_{1} = 2 A B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，求点 $A_{1}$ 到平面 $A E F$ 的距离．

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22. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个50元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个100元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面的柱状图．以这50台这种机器更换的易损零件数对应的频率代替每台机器更换的易损零件数对应的概率，记x表示2台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(1)、若 $n = 22$ ，求y与x的函数解析式；

(2)、求这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22的概率；

(3)、假设这50台机器在购机的同时每台都购买10个易损零件，或每台都购买11个易损零件，或每台都购买12个易损零件，分别计算这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，如果该公司最终决定购买1台机器，试问该公司购买1台机器的同时应购买多少个易损零件？

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高一年级		高二年级
男同学	女同学	男同学	女同学
16	12	8	24