河南省名校联盟2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2022-09-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A、简单随机抽样 B、按性别分层随机抽样 C、按学段分层随机抽样 D、其他抽样方法

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2. 设集合 $A = {x | x^{2} - 4 \leq 0} ， B = {x | 2 x + a \geq 0}$ ，若 $A ∩ B = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ ，则 $a =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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3. 已知 $(1 - i) z = 2$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $C = 45 °$ ，则边 $c$ 等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (m ， 4)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，那么 $\vec{a} - \vec{b}$ 等于（）

A、(4，0) B、(0，4) C、(3，－6) D、(－3，6)

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6. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a < 2$ 且 $b < 2$ ”是“ $a + b < 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 设有两条不同的直线 $m ､ n$ 和两个不同的平面 $α ､ β$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α ， n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m \subset α ， n \subset α ， m ∥ β ， n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $m ∥ n ， m \subset α$ ，则 $n ∥ α$ D、若 $α ∥ β ， m \subset α$ ，则 $m / / β$

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8. 甲、乙两人有三个不同的学习小组 $A ， B ， C$ 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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9. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B B_{1} = B C ， P$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则二面角 $B - P C_{1} - C$ 的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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10. 将函数 $f (x) = s i n x$ 的图象上各点横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{12})$ B、 $g (x) = s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{24})$ C、 $g (x) = s i n (2 x + \frac{π}{12})$ D、 $g (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$

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11. 已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是 $\frac{1}{6} ， \frac{1}{4} ， \frac{1}{3}$ ，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）

A、 $\frac{1}{72}$ B、 $\frac{5}{72}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{7}{12}$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，在 $(- \infty ， 0]$ 上是增函数，且 $f (2) = 0$ ，则满足 $\frac{f (x) + f (- x)}{x} > 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(2 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (0 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 2)$

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二、填空题

13. 已知扇形的圆心角为 $150 °$ ，面积为 $\frac{5 π}{3}$ ，则该扇形所在圆的半径为.

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14. 不等式 $(2 + x) (1 - x) > 0$ 的解集为.

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15. 如果 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的方差是 $\frac{1}{3}$ ，则 $3 x_{1}$ ， $3 x_{2}$ ， $3 x_{3}$ ， $3 x_{4}$ 的方差为.

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C ， P A = P B = A B = \sqrt{3} ， ∠ B A C = 9 0^{∘} ， A C = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m^{2} + \frac{3}{2} m + \frac{1}{2}}$ 为奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (a + 1) < f (3 - 2 a)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $α ， β$ 为锐角， $s i n α = \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， s i n (α - β) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

(1)、求 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、求 $t a n β$ 的值.

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19. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 2 ， \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 6$ .

(1)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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20. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点， $P A = A B$ .证明：

(1)、 $E F$ $∥$ 平面PDC；

(2)、PB⊥平面DEF.

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21. 某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照 $[0 ， 0.5) ， [0.5 ， 1) ， ⋯ ， [4 ， 4.5]$ 分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；

(3)、采用分层抽样的方法从 $[1 ， 1.5) ， [1.5 ， 2)$ 这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率.

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22. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量 $\vec{m} = (a ， \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (c o s A ， s i n B)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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