河南省开封市2022-2023年高三上学期数学开学联考试卷

试卷更新日期：2022-09-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合A= ${x | - 2 \leq x < 3}$ ， B= ${x | x < - 1}$ ，那么集合A∩B等于（）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | x \leq - 1 或 x > 3}$ C、 ${x | - 2 \leq x < - 1}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 3}$

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2. 已知非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，下列说法不正确的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同或相反 D、存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$

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3. 如图所示的组合体，其结构特征是（）

A、由两个圆锥组合成的 B、由两个圆柱组合成的 C、由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D、由一个圆锥和一个圆柱组合成的

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4. 已知 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，且 $3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则λ等于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\pm \frac{3}{2}$ D、1

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向，则 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ （）

A、36 B、48 C、57 D、64

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6. △ $A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且a=1，B=45°，其面积为2，则△ $A B C$ 的外接圆的直径为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、4 D、5

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7. 某圆锥的母线长为2，侧面积为 $2 π$ ，则其体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ D、 $\sqrt{3} π$

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8. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) s i n x$ 图象的大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设函数 $f (x) = x (e^{x} + a e^{- x})$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (x)$ 是奇函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处切线的斜率为（）

A、 $- 2 e$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、2 D、 $2 e$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $2 x - y + 3 = 0$ 平行，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \geq 0 \\ - x^{3} + 3 x + a ， x < 0 \end{array}$ 的值域为 $[1 ， + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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12. 把函数 $y = f (x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = s i n (x - \frac{π}{4})$ 的图像，则 $f (x) =$ （）

A、 $s i n (\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12})$ B、 $s i n (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ C、 $s i n (2 x - \frac{7 π}{12})$ D、 $s i n (2 x + \frac{π}{12})$

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二、解答题

13. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组 $[15 ， 25)$ ，第2组 $[25 ， 35)$ ，第3组 $[35 ， 45)$ ，第4组 $[45 ， 55)$ ，第5组 $[55 ， 65]$ ，得到的频率分布直方图如图所示

(1)、求样本中第3组人数；

(2)、根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的平均数；

(3)、若从年龄在 $[15 ， 35)$ 的人中随机抽取两位，求至少有一人的年龄在 $[15 ， 25)$ 内的概率.

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14. 经过长期观测得到：在某地交通繁忙时段内，公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数解析式为： $y = \frac{910 v}{v^{2} + 11 v + 1600} (v > 0)$

(1)、若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？

(2)、该时段内当汽车的平均速度v为多少时车流量最大？最大车流量为多少？

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明；

(2)、若 $f (\frac{1}{x - 1}) > f (2)$ ，求x的取值范围．

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16. 甲、乙，丙三个同学做同一道数学题，且他们能否解答正确该题互不影响.已知甲解答正确的概率为 $p$ ，乙解答正确的概率为 $m$ ，丙解答正确的概率为0.7，甲、乙二人中至少有一人解答正确的概率为0.88.

(1)、若 $p = 0.5$ ，求甲，乙二人中至多有一人解答正确的概率；

(2)、若 $m = 2 p$ ，求甲，乙、丙三人中恰有两人解答正确的概率.

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17. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)、当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

(2)、当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

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三、填空题

18. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为.

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19. 已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组： $14 ， 30 ， 37 ， a ， 41 ， 52 ， 53 ， 55 ， 58 ， 80$ ；乙组： $17 ， 22 ， 32 ， b ， 45 ， 47 ， 51 ， 59$ .若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则 $a - b$ 等于.

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20. 不等式 $c o s x > \frac{1}{2}$ 在区间 $[- π ， π]$ 上的解集为．

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21. 若函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4 x + 5)$ 在区间 $(3 m - 2 ， m + 2)$ 内单调递增，则实数 $m$ 的取值范围为．

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