甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高二上学期数学开学检测试卷

试卷更新日期：2022-09-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = t a n (x + \frac{π}{4})$ 的定义域为（）

A、 ${x | x \neq k π + \frac{π}{4} ， k \in Z}$ B、 ${x | x \neq 2 k π + \frac{π}{4} ， k \in Z}$ C、 ${x | x \neq k π - \frac{π}{4} ， k \in Z}$ D、 ${x | x \neq k π ， k \in Z}$

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2. 已知复数 $z = \frac{i}{2 + i}$ ，i为虚数单位，则z的共轭复数为（）

A、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} i$ D、 $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i$

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3. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6})$ （其中 $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ ，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、-1 B、 $- \sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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4. 已知 $a ， b$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $a / / α ， b / / α$ ，则 $a / / b$ B、若 $a / / α ， a / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $a ⊥ α ， b ⊥ α$ ，则 $a / / b$ D、若 $a ⊥ α ， b ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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5. 某大学数学系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年级的人数比为 $4 ： 3 ： 2 ： 1$ ，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取的三年级学生的人数为（）

A、20 B、40 C、60 D、80

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6. 已知平面直角坐标系内 $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 1 ， 1) ， B (2 ， 3) ， C (- 6 ， 5)$ ， D为 $B C$ 边的中点，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $(- 3 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 5)$ D、 $(- 2 ， 4)$

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7. 春运期间，小明和小华两位同学报名参加了去本地客运站疏导乘客的公益活动，若两人分别被随机分配到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个客运站中的一个，则两人被分在同一个客运站的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为（）

A、 $\frac{9 π}{2}$ B、6π C、9π D、18π

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二、多选题

9. 已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为 $\frac{8}{9}$ 的是（）

A、颜色相同 B、颜色不全相同 C、颜色全不相同 D、无红球

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10. 某市气象部门根据2020年各月的每天最高气温与最低气温的平均数据，绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（）

A、各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值8月均最高 B、从2020年1月至8月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值一直在上升 C、全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5个 D、全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大

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11. 正三棱锥底面边长为3，侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，则下列叙述正确的是（）

A、正三棱锥高为3. B、正三棱锥的斜高为 $\frac{\sqrt{39}}{2}$ C、正三棱锥的体积为 $\frac{27 \sqrt{3}}{4}$ D、正三棱锥侧面积为 $\frac{3 \sqrt{39}}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 图象的一条对称轴方程为 $x = \frac{π}{6}$ ，与其相邻对称中心的距离为 $\frac{π}{4}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $φ = \frac{π}{6}$ D、 $φ = \frac{π}{3}$

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三、填空题

13. 已知角 $α$ 是第四象限角， $c o s α = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n 2 α =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (3 ， 4)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{c}) / / \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ ．

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15. 函数 $y = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为．

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16. 在梯形ABCD中， $A B ∥ C D ， A B = 2 ， A D = C D = C B = 1$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，连接BD，得到三棱锥 $D - A B C$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值为．此时该三棱锥的外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{π}{3}$ 的单位向量，且向量 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}} ， \vec{b} = 2 \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ .

(1)、求 $| \vec{a} |$ ；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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18. 已知六棱锥P－ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm，求六棱锥P－ABCDEF的表面积和体积．

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19. 已知平面向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} s i n x ， c o s x)$ ， $\vec{n} = (c o s x ， c o s x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的值域.

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20. 如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q分别是BC、C₁D₁、AD₁、BD的中点．

(1)、求证：PQ∥平面DCC₁D₁；

(2)、求证：AC⊥EF.

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21. 已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $A + C = 2 B$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ .

(1)、求边c；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求a的取值范围.

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22. 甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．

(1)、若以 $A$ 表示和为6的事件，写出事件 $A$ 的样本点；

(2)、现连玩三次，若以 $B$ 表示甲至少赢一次的事件， $C$ 表示乙至少赢两次的事件，试问： $B$ 与 $C$ 是否为互斥事件？为什么？

(3)、这种游戏规则公平吗？试说明理由．

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