甘肃省定西市临洮县2021-2022学年高二下学期理数开学考试试卷

试卷更新日期：2022-09-16 类型：开学考试

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一、单选题

1. 下列有关命题的叙述错误的是（）

A、对于命题p： $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + x_{0} + 1 < 0$ ，则 $\neg p ： \forall x \in R ， x^{2} + x + 1 \geq 0$ . B、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0 ，则 x = 1$ ”的逆否命题为“若 $x \neq 1 ，则 x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ”． C、若 $p \land q$ 为假命题，则 $p ， q$ 均为假命题. D、“ $x > 2$ ”是“ $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ”的充分不必要条件.

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2. 已知F₁(-5，0)，F₂(5，0)，动点P满足|PF₁|-|PF₂|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为（）

A、双曲线和一条直线 B、双曲线和一条射线 C、双曲线的一支和一条直线 D、双曲线的一支和一条射线

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3. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{1}{x})}^{'} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ B、 $(\log_{2} x)^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ C、 $(3^{x})^{'} = 3^{x} \log_{3} e$ D、 $(x^{2} \cos x)^{'} = - 2 x \sin x$

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4. 顶点在原点，且过点 $(- 4 ， 4)$ 的抛物线的标准方程是（）

A、 $y^{2} = - 4 x$ B、 $x^{2} = 4 y$ C、 $y^{2} = - 4 x$ 或 $x^{2} = 4 y$ D、 $y^{2} = 4 x$ 或 $x^{2} = - 4 y$

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5. 若 $\vec{A B}$ =λ $\vec{C D}$ +μ $\vec{C E}$ ，则直线AB与平面CDE的位置关系是（）

A、相交 B、平行 C、在平面内 D、平行或在平面内

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6. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 （ a_{n} - 1)$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、-2

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7. 在 $△ A B C$ 中， $a = 3 \sqrt{3}$ ， $b = 3$ ， $A = 120 °$ ，则角B的度数为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列关于 $\vec{A C_{1}}$ 的表达中错误的一个是（）

A、 $\vec{A A_{1}} + \vec{A_{1} B_{1}} + \vec{A_{1} D_{1}}$ B、 $\vec{A B} + \vec{D D_{1}} + \vec{D_{1} C_{1}}$ C、 $\vec{A D} + \vec{C C_{1}} + \vec{D_{1} C_{1}}$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{A B_{1_{}}} + \vec{C D_{1}}) + \vec{A_{1} C_{1}}$

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9. 若函数 $f (x) = x^{2} + a x + \frac{1}{x}$ 在 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ 是增函数，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 3]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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10. 如果椭圆 $\frac{x^{2}}{k + 8} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (k > - 8)$ 的离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ，则 $k =$ （）

A、4 B、 $4$ 或 $- \frac{5}{4}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、4或 $- \frac{4}{5}$

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11. 若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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12. 空间四边形 $O A B C$ 中， $O B = O C$ ， $∠ A O B = ∠ A O C = \frac{π}{3}$ ，则 $c o s ⟨ \vec{O A} ， \vec{B C} ⟩$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、0

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二、填空题

13. 设实数 $x$ 、 $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \geq 0 \\ x - y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - y$ 的最小值是．

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14. 若函数 $f (x) = x^{2} - a l n x$ 在 $x = 1$ 处取极值，则 $a =$ .

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15. 点P是双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上一点，F₁ ， F₂分别是其左、右焦点，若|PF₁|＝10，则|PF₂|=

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16. 若 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 已知 $p$ ： $\forall x \in R$ ，不等式 $x^{2} - m x + \frac{3}{2} > 0$ 恒成立， $q$ ：椭圆 $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1$ 的焦点在x轴上．若命题 $p \land q$ 为真命题，求实数m的取值范围．

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18. 已知数列{an}是一个等差数列，且a₂＝1，a₅＝－5.

(1)、求{an}的通项an；

(2)、求{an}前n项和Sn的最大值．

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19. 已知 $A ， B ， C$ 为 $△ A B C$ 的三内角，且其对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $c o s B c o s C - s i n B s i n C = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $b + c = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 已知函数 $f (x) = x l n x$ ， $g (x) = - x^{2} + a x - 3$

(1)、求 $f (x)$ 在 $(e ， f (e))$ 处的切线方程

(2)、若存在 $x \in [1 ， e]$ 时，使 $2 f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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21. 已知椭圆的两焦点为 $F_{1} (0 ， - 2)$ 、 $F_{2} (0 ， 2)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设点 $P$ 在椭圆上，且 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 16$ ，求 $∠ F_{1} P F_{2}$ ．

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22. 如图在底面是直角梯形的四棱锥 $S - A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $S A ⊥$ 面 $A B C D$ ， $S A = A B = B C = 1$ ， $A D = \frac{1}{2}$ ，求面 $S C D$ 与面 $S B A$ 所成二面角的正切值．

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