2022年秋季浙教版数学九年级上册第一章《二次函数》单元测试B

试卷更新日期：2022-09-15 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 抛物线 $y = 2 (x + 9)^{2} - 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(9 ， - 3)$ B、 $(- 9 ， - 3)$ C、 $(9 ， 3)$ D、 $(- 9 ， 3)$

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2. 已知二次函数 $y = m x^{2} - 4 m^{2} x - 3$ （ $m$ 为常数， $m \neq 0$ ），点 $P (x_{p} ， y_{p})$ 是该函数图象上一点，当 $0 \leq x_{p} \leq 4$ 时， $y_{p} \leq - 3$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 1$ 或 $m < 0$ B、 $m \geq 1$ C、 $m \leq - 1$ 或 $m > 0$ D、 $m \leq - 1$

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3. 已知反比例函数 $y = \frac{b}{x} (b \neq 0)$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = c x - a (c \neq 0)$ 和二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴两个交点间的距离为4.对称轴为 $x = 2$ ，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(- 2 ， 4)$ C、 $(- 2 ， - 4)$ D、 $(2 ， - 4)$

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5. 已知二次函数y=2x²−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为 $x = - 2$ ，下列结论正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $c > 0$ C、当 $x < - 2$ 时，y随x的增大而减小 D、当 $x > - 2$ 时，y随x的增大而减小

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7. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $0 < a < c$ ）经过点 $(1 ， 0)$ ，有下列结论：
① $2 a + b < 0$ ；
②当 $x > 1$ 时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程 $a x^{2} + b x + (b + c) = 0$ 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 如图，二次函数y＝ax²+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是（）

A、b＞0 B、a+b＞0 C、x＝2是关于x的方程ax²+bx＝0（a≠0）的一个根 D、点（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂）在二次函数的图象上，当x₁＞x₂＞2时，y₂＜y₁＜0

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9. 已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - b x + c$ ，当 $x = 1$ 时， $y < 0$ ；当 $x = 2$ 时， $y < 0$ .下列判断：
① $b^{2} > 2 c$ ；②若 $c > 1$ ，则 $b > \frac{3}{2}$ ；③已知点 $A (m_{1} ， n_{1})$ ， $B (m_{2} ， n_{2})$ 在抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - b x + c$ 上，当 $m_{1} < m_{2} < b$ 时， $n_{1} > n_{2}$ ；④若方程 $\frac{1}{2} x^{2} - b x + c = 0$ 的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 3$ .
其中正确的有（）个.

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为 $x = \frac{3}{2}$ ，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点 $(\frac{1}{2} ， y_{1})$ ，（3，y₂）是抛物线上的两点，则y₁<y₂；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 已知二次函数y＝﹣x²+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．

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12. 已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：

x	…	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	11	a	3	2	3	6	11	…

由此判断，表中a＝.

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13. 如图，用一段长为 $16 m$ 的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 $m^{2}$ .

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14. 规定：两个函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数 $y_{1} = 2 x + 2$ 与 $y_{2} = - 2 x + 2$ 的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”.若函数 $y = k x^{2} + 2 (k - 1) x + k - 3$ （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为.

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15. 小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y₁），（﹣2，y₂），（3，y₃）均在二次函数图象上，则y₁＜y₂＜y₃；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有．（填序号，多选、少选、错选都不得分）

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16. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $(- 1 ， 0)$ 和点 $(2 ， 0)$ ，以下结论：
① $a b c < 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③ $a + b = 0$ ；④当 $x < \frac{1}{2}$ 时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有．（填写代表正确结论的序号）

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…

(1)、直接写出y与x的函数关系式；

(2)、若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？

(3)、当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

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18. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 $n (n \geq 0)$ 的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{3})$ 是函数 $y = x$ 图像的“ $\frac{1}{2}$ 阶方点”；点 $(2 ， 1)$ 是函数 $y = \frac{2}{x}$ 图像的“2阶方点”．

(1)、在① $(- 2 ， - \frac{1}{2})$ ；② $(- 1 ， - 1)$ ；③ $(1 ， 1)$ 三点中，是反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 图像的“1阶方点”的有（填序号）；

(2)、若y关于x的一次函数 $y = a x - 3 a + 1$ 图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

(3)、若y关于x的二次函数 $y = - {(x - n)}^{2} - 2 n + 1$ 图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + x + m$ （a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.

(1)、求此抛物线的函数解析式.

(2)、点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.

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20. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的顶点为A，与y轴交于点C，线段 $C B ∥ x$ 轴，交该抛物线于另一点B.

(1)、求点B的坐标及直线 $A C$ 的解析式：

(2)、当二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的自变量x满足 $m ⩽ x ⩽ m + 2$ 时，此函数的最大值为p，最小值为q，且 $p - q = 2$ .求m的值：

(3)、平移抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，使其顶点始终在直线 $A C$ 上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围.

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21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + c (a \neq 0)$ 与x轴交于A，B两点，点B的坐标是 $(2 ， 0)$ ，顶点C的坐标是 $(0 ， 4)$ ， M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线 $A M$ 与y轴交于点G．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接 $O M$ ，记 $△ A O G ， △ M O G$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ．当 $S_{1} = 2 S_{2}$ ，且直线 $C N ∥ A M$ 时，求证：点N与点M关于y轴对称；

(3)、如图2，直线 $B M$ 与y轴交于点H，是否存在点M，使得 $2 O H - O G = 7$ ．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C.

(1)、求a，b满足的关系式及c的值；

(2)、当a＝ $\frac{1}{4}$ 时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；

(3)、当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为 $D (2 ， 1)$ ，抛物线的对称轴交直线 $B C$ 于点E.

(1)、求抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的表达式；

(2)、把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为 $h (h > 0)$ ，在平移过程中，该抛物线与直线 $B C$ 始终有交点，求h的最大值；

(3)、M是（1）中抛物线上一点，N是直线 $B C$ 上一点.是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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24. 如图，在平面直角坐标系中，经过点 $A (4 ， 0)$ 的直线AB与y轴交于点 $B (0 ， 4)$ ．经过原点O的抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)、求抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的表达式；

(2)、M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当 $M N ∥ y$ 轴且 $M N = 2$ 时，求点M的坐标；

(3)、P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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销售单价x（元/件）	…	35	40	45	…
每天销售数量y（件）	…	90	80	70	…