2022年秋季浙教版数学九年级上册第一章《二次函数》单元测试A

试卷更新日期：2022-09-15 类型：单元试卷

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 将抛物线y=x²向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）

A、y=x²+3 B、y=x²-3 C、y=(x+3)² D、y=(x-3)²

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2. 已知二次函数 $y = a {(x - 1)}^{2} - a (a \neq 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，y的最小值为 $- 4$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或4 B、 $\frac{4}{3}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ 或4 D、 $- \frac{1}{2}$ 或4

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3. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x + 5$ ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（）

A、 $x < 1$ B、 $x > 1$ C、 $x < 2$ D、 $x > 2$

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4. 根据如图所示的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象，判断反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 与一次函数 $y = b x + c$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 抛物线y=x²+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- 4$ D、4

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6. 在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ 的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）

A、 $y = {(x - 2)}^{2} - 1$ B、 $y = {(x - 2)}^{2} + 3$ C、 $y = x^{2} + 1$ D、 $y = x^{2} - 1$

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7. 已知抛物线y=ax² +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（ $\frac{4}{3}$ ， y₁）、C（ $\frac{1}{3}$ ， y₂）、D（ $- \frac{1}{3}$ ， y₃）是抛物线上的三点，则y₁<y₂<y₃.其中正确结论的个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 二次函数 $y = {(x + m)}^{2} + n$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = m x + n$ 的图象经过（）

A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第一、三、四象限 D、第二、三、四象限

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，与x轴交于 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B (x_{2} ， 0)$ 两点，若 $- 2 < x_{1} < - 1$ ，则下列四个结论：① $3 < x_{2} < 4$ ， ② $3 a + 2 b > 0$ ， ③ $b^{2} > a + c + 4 a c$ ， ④ $a > c > b$ ．

正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + 2$ 与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点 $M (m - 1 ， y_{1})$ ， $N (m + 1 ， y_{2})$ 为图形G上两点，若 $y_{1} < y_{2}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $m < - 1$ 或 $m > 0$ B、 $- \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}$ C、 $0 \leq m < \sqrt{2}$ D、 $- 1 < m < 1$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 $40 m / s$ 的速度将小球沿与地面成 $30 °$ 角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是 $h = - 5 t^{2} + 20 t$ ，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．

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12. 如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ，则铅球推出的水平距离OA的长是m．

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13. 某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当 $10 ≤ x ≤ 20$ 时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润=总销售额-总成本）．

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14. 在平面直角坐标系中，点 $C$ 和点 $D$ 的坐标分别为 $(- 1 ， - 1)$ 和 $(4 ， - 1)$ ，抛物线 $y = m x^{2} - 2 m x + 2 (m \neq 0)$ 与线段 $C D$ 只有一个公共点，则 $m$ 的取值范围是．

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 $(- 2 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ .对于下列结论：① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $a + b + c = 0$ ；④ $a m^{2} + b m < \frac{1}{4} (a - 2 b)$ （其中 $m \neq - \frac{1}{2}$ ）；⑤若 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ 均在该函数图象上，且 $x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ .其中正确结论的个数共有个.

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16. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数）开口向下，过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ 两点，且 $1 < m < 2$ .下列四个结论：
① $b > 0$ ；

②若 $m = \frac{3}{2}$ ，则 $3 a + 2 c < 0$ ；

③若点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线上， $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；

④当 $a \leq - 1$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 必有两个不相等的实数根.

其中正确的是（填写序号）.

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．

(1)、求第二批每个挂件的进价；

(2)、两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？

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18. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1	图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽 20m ，拱顶离水面 5m ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 1.8m 达到最高．
素材2	为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂 40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于 1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为 1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1	确定桥拱形状	在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	探究悬挂范围	在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3	拟定设计方案	给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．

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19. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的自变量 $x$ 的部分取值和对应函数值 $y$ 如下表：
$x$
…
$- 1$
0
1
2
3
…
$y$
…
4
3
0
$- 5$
$- 12$
…

(1)、求二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的表达式；

(2)、将二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象向右平移 $k (k > 0)$ 个单位，得到二次函数 $y = m x^{2} + n x + q$ 的图象，使得当 $- 1 < x < 3$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大；当 $4 < x < 5$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数 $y = m x^{2} + n x + q$ 的表达式 $y =$ ，实数 $k$ 的取值范围是；

(3)、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象上互不重合的三点.已知点 $A$ 、 $B$ 的横坐标分别是 $m$ 、 $m + 1$ ，点 $C$ 与点 $A$ 关于该函数图象的对称轴对称，求 $∠ A C B$ 的度数.

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20. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度 $v (m / s)$ 从D点滑出，运动轨迹近似抛物线 $y = - a x^{2} + 2 x + 20 (a \neq 0)$ ．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）

(1)、求线段CE的函数表达式（写出 $x$ 的取值范围）．

(2)、当 $a = \frac{1}{9}$ 时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．

(3)、在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与 $v^{2}$ 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于 $v^{2}$ 的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．

②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？

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21. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+2mx+3m，点A（3，0）．

(1)、当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；

(2)、证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；

(3)、在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．

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22. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 经过点 $B (6 ， 0)$ 和点 $D (4 ， - 3)$ 与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．

(1)、①求抛物线的函数表达式
②并直接写出直线AD的函数表达式．

(2)、点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE， $△ B D F$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ D E F$ 的面积记为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = 2 S_{2}$ 时，求点E的坐标；

(3)、点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为 $C_{1}$ ，点C的对应点 $C^{'}$ ，点G的对应点 $G^{'}$ ，将曲线 $C_{1}$ ，沿y轴向下平移n个单位长度（ $0 < n < 6$ ）．曲线 $C_{1}$ 与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形 $C^{'} G^{'} Q P$ 是平行四边形，直接写出P的坐标．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2经过A（ $- \frac{1}{2}$ ， 0），B（3， $\frac{7}{2}$ ）两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

(3)、抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，已知直线y＝ $\frac{4}{3}$ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax²+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；

(3)、若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

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$x$	…	$- 1$	0	1	2	3	…
$y$	…	4	3	0	$- 5$	$- 12$	…