浙江省诸暨市浣江教育共同体2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2022-09-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 抛物线y＝2（x＋3）²＋4的顶点是（）

A、（3，4） B、（3，－4） C、（－3，4） D、（4，－3）

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2. 学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取一人，则选中男生的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3.
已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）

A、45° B、35° C、25° D、20°

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4.
下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 把抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ 向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（）

A、 $y = {(x + 2)}^{2} + 4$ B、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ C、 $y = {(x - 4)}^{2} + 4$ D、 $y = {(x - 4)}^{2}$ +2

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6. 如图，电路图上有 $4$ 个开关 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 和 $1$ 个小灯泡，同时闭合开关 $A$ 、 $B$ 或同时闭合开关 $C$ 、 $D$ 都可以使小灯泡发光.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）

A、只闭合1个开关 B、只闭合2个开关 C、只闭合3个开关 D、闭合4个开关

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7. 如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（　　）

A、△CGE∽△CBP B、△APD∽△PGD C、△APG∽△BFP D、△PCF∽△BCP

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8. 在直角坐标平面内，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为4，下列说法中不正确的是（）

A、当a＝﹣1时，点B在圆A上 B、当a＜7时，点B在圆A内 C、当a＜﹣1时，点B在圆A外 D、当﹣1＜a＜7时，点B在圆A内

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9. 如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB²＝BD·BC，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（）

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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10. 定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）²﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值之差为（）

A、5 B、 $\frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ C、4 D、 $\frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

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二、填空题

11. 已知 $\frac{x}{y} = \frac{5}{2}$ ，则 $\frac{x - y}{y}$ ＝.

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12. 一个均匀材料制作的正方形骰子，各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次，点数之和为6的概率是．

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13. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC＝．

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14. 已知二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + m$ 的部分图象如图所示，则一元二次方程 $- x^{2} - 2 x + m = 0$ 的解为：.

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15. 如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与BD交于E，则图中阴影部分的面积为.（结果保留 $π$ ）

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16. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC ＝2 AB ＝ 8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，线段BD的长为．

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三、解答题

17. 一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和1个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀．

(1)、求从中任意摸出1个白球的概率．

(2)、从中任意摸出2个球，请利用画树状图或列表法，求出摸到2个都是黄球的概率．

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18. 如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为 $(- 3 ， 2)$ ，

（1）画出平面直角坐标系．
（2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心并直接写出圆心的坐标．（不写作法，保留作图痕迹）

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19. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 的中点， $D F ⊥ A E$ ，垂足为F．

(1)、求证： $Δ A B E ∽ Δ D F A$ ；

(2)、若AB＝12，BC＝10，求 $D F$ 的长．

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20. 已知在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．

(1)、求证： $E D = E C$ ；

(2)、若CD＝ $\sqrt{3}$ ， $E C = 2$ ，求AB的长．

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21. 如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）．

(1)、求抛物线的函数关系式；

(2)、求△ABC的面积；

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．

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22. 红星公司销售一种成本为50元/件的产品，原月销售单价为60元/件．一个月可售出5万件，现公司打算提价销售，经市场调查表明，当月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．设月销售单价为x元/件，月销售量为y万件，月销售利润为w万元．

(1)、求出y与x之间的函数关系式，不需要写出自变量x的取值范围；

(2)、当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

(3)、为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向贫困山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于80元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．

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23. 【了解概念】
在凸四边形中，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边.

(1)、【理解运用】
邻等四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=70°，则∠C的度数为 .

(2)、如图，凸四边形ABCD中，P为AB边的中点，△ADP∽△PDC，判断四边形ABCD是否为邻等四边形；并证明你的结论；

(3)、【拓展提升】
在平面直角坐标系中，AB为邻等四边形ABCD的邻等边，且AB边与x轴重合，已知A（-1，0），C（m，2 $\sqrt{3}$ ），D（2，3 $\sqrt{3}$ ），若在边AB上使∠DPC=∠BAD的点P有且仅有1个，请直接写出m的值．

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24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 与两坐标轴分别相交于A，B，C三点，直线BC的函数解析式为y＝kx＋b；

(1)、求点A、B、C的坐标；

(2)、求出直线BC的函数解析式，并根据图像直接写出 $- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4 \geq k x + b$ 时x的取值范围；

(3)、点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求△BCD面积的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．

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