浙江省宁波市镇海区2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 抛物线y＝4x²﹣3的顶点坐标是（）

A、(0，3) B、(0，﹣3) C、(﹣3，0) D、(4，﹣3)

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2. 下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（）

A、事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件 B、体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖 C、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品 D、掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 $\frac{1}{3}$

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3. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 为圆上的三点， $∠ A B C = 50 °$ ， $P$ 点可能是圆心的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 把函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} + 2$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$

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5. 如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，若将三角形PBC绕点B旋转到三角形P′BA，则∠P′BP的度数为（）

A、45° B、60° C、90° D、120°

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6. 已知(﹣3， $y_{1}$ )，(﹣2， $y_{2}$ )，(1， $y_{3}$ )是抛物线 $y = - 3 x^{2} - 12 x + m$ 上的点，则（）

A、 $y_{3}$ $<$ $y_{2}$ $<$ $y_{1}$ B、 $y_{3}$ $<$ $y_{1}$ $<$ $y_{2}$ C、 $y_{2}$ $<$ $y_{3}$ $<$ $y_{1}$ D、 $y_{1}$ $<$ $y_{3}$ $<$ $y_{2}$

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7. 圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是（　　）

A、1：2：3：4 B、1：3：4：5 C、2：3：4：5 D、2：3：5：4

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8. 已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（）

A、（3，5） B、（﹣3，5） C、（1，2） D、（1，﹣2）

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9. 如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S₁）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S₂），则S₁与S₂的关系为（）

A、S₁＝ $\frac{π}{3}$ S₂ B、S₁＜S₂ C、S₁＝S₂ D、S₁＞S₂

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10. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）

A、4 $\sqrt{3}$ 米 B、5 $\sqrt{2}$ 米 C、2 $\sqrt{13}$ 米 D、7米

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二、填空题

11. 从 $- \frac{1}{2}, - 1, 1, 2, 5$ 中任取一数作为 $a$ ，使抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的开口向上的概率为．

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12. 已知⊙O的半径为5，若P到圆心O的距离是4，则点P与⊙O的位置关系是．

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13. 若二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + k$ 的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是.

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14. 一条弦所对的圆心角的度数为95°，这条弦所对的圆周角的度数为.

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15. 二次函数 $y = (x - \frac{1}{m}) (m x - 6 m)$ （其中m>0），下列命题：①该图象过点（6，0）；②该二次函数顶点在第三象限；③当x>3时，y随x的增大而增大；④若当x<n时，都有y随x的增大而减小，则 $n \leq 3 + \frac{1}{2 m}$ .正确的序号是.

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16. 如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，点C为⊙O上的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝6，那么△ACD的面积是．

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三、解答题

17. 城市小区生活垃圾分为干垃圾、湿垃圾、有害垃圾和可回收垃圾四种不同的类型．

(1)、甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是．

(2)、甲、乙分别投放了一袋垃圾，通过画树状图或列表求恰好是同一类型垃圾的概率．

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18. 如图，△ABC内接于⊙O，设∠B＝α，请用无刻度的直尺按要求作图(保留作图痕迹).

(1)、在图①中画一个度数是2α的圆心角

(2)、在图②中作出∠C的余角.

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19. 已知二次函数的图象经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (3, 0)$ ，且有最小值为 $- 2$ .

(1)、求这个函数的解析式；

(2)、函数的开口方向、对称轴；

(3)、当 $y > 0$ 时， $x$ 的取值范围.

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20. 已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，

(1)、求证： $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B D}$ ；

(2)、求证：AM＝DM．

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21. 如图，已知A、B、C是 $⊙ O$ 上三点，其中 $\overset{⌢}{A B} = 2 \overset{⌢}{B C}$ ，过点B画 $B D ⊥ O C$ 于点D．

(1)、求证： $A B = 2 B D$ ；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{3} ， C D = 1$ ，求图中阴影部分的面积．

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22. 某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系为p＝ ${\begin{array}{l} \frac{1}{4} t + 16 (1 \leq t \leq 40) \\ - \frac{1}{2} t + 46 (41 \leq t \leq 80) \end{array}$ ，且t为整数，日销售量y（千克）与时间t（天）之间的函数关系如图所示．

(1)、求日销售量y与时间t的函数表达式．

(2)、哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

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23. 若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：

(1)、矩形 “奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；

(2)、如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD=60°．求“奇妙四边形”ABCD的面积；

(3)、如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．

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24. 如图，抛物线y＝﹣ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2$ 与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

(1)、求点A、点B、点C的坐标；

(2)、求直线BD的解析式；

(3)、当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

(4)、在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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