宁夏回族自治区2022年中考数学试卷

试卷更新日期：2022-09-14 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列事件为确定事件的有（）
（1）打开电视正在播动画片（2）长、宽为 $m$ ， $n$ 的矩形面积是 $m n$ （3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上（4） $π$ 是无理数

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）

A、平移 B、轴对称 C、旋转 D、位似

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $- 2 - 2 = 0$ B、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6}$ C、 $x^{3} + x^{3} = 2 x^{6}$ D、 $(- x^{3})^{2} = x^{6}$

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4. 某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（）

A、12 B、9 C、8 D、6

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5. 已知实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的位置如图所示，则 $\frac{a}{| a |} + \frac{b}{| b |}$ 的值是（）

A、-2 B、-1 C、0 D、2

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6. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 $x$ ，根据题意列出方程，正确的是（）

A、 $6.2 (1 + x)^{2} = 8.9$ B、 $8.9 (1 + x)^{2} = 6.2$ C、 $6.2 (1 + x^{2}) = 8.9$ D、 $6.2 (1 + x) + 6.2 (1 + x)^{2} = 8.9$

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7. 在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压 $U$ 一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积 $V$ 与电路中总电阻 $R_{总} （ R_{总} = R + R_{0} ）$ 是反比例关系，电流 $I$ 与 $R_{总}$ 也是反比例关系，则 $I$ 与 $V$ 的函数关系是（）

A、反比例函数 B、正比例函数 C、二次函数 D、以上答案都不对

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8. 把量角器和含 $30 °$ 角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度 $2$ 处，短直角边过量角器外沿刻度 $120$ 处（即 $O C = 2 c m$ ， $∠ B O F = 120 °$ ）．则阴影部分的面积为（）

A、 $(2 \sqrt{3} - \frac{2}{3} π) c m^{2}$ B、 $(8 \sqrt{3} - \frac{2}{3} π) c m^{2}$ C、 $(8 \sqrt{3} - \frac{8}{3} π) c m^{2}$ D、 $(16 \sqrt{3} - \frac{8}{3} π) c m^{2}$

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二、填空题

9. 分解因式： $a^{3} - a b^{2}$ =.

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10. 如图， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $O B = O D$ ，要使 $△ A O B$ ≌ $△ C O D$ ，添加一个条件是．（只写一个）

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11. 喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片： $《 1921 》$ 、 $《$ 香山叶正红 $》$ 、 $《$ 建党伟业 $》$ 、 $《$ 建军大业 $》$ ．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是．

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12. 如图，在 $⊙ O$ 中，半径 $O C$ 垂直弦 $A B$ 于点 $D$ ，若 $O B = 10$ ， $A B = 16$ ，则 $c o s B =$ ．

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13. 如图，点 $B$ 的坐标是（0，3），将 $△ O A B$ 沿 $x$ 轴向右平移至 $△ C D E$ ，点 $B$ 的对应点E恰好落在直线 $y = 2 x - 3$ 上，则点 $A$ 移动的距离是．

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14. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，可列方程组为
．

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15. 如图，直线 $a ∥ b$ ， $△ A O B$ 的边 $O B$ 在直线 $b$ 上， $∠ A O B = 55 °$ ，将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $75 °$ 至 $△ A_{1} O B_{1}$ ，边 $A_{1} O$ 交直线 $a$ 于点 $C$ ，则 $∠ 1 =$ $°$ ．

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16. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为米（精确到 $1$ 米）．（参考数据： $s i n 46 ° 12' \approx 0.72$ ， $c o s 46 ° 12' \approx 0.69$ ， $t a n 46 ° 12' \approx 1.04$ ）

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三、解答题

17. 如图，是边长为 $1$ 的小正方形组成的 $8 \times 8$ 方格，线段 $A B$ 的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为 $(2 ， 1)$ 和 $(- 1 ， 3)$ ．

⑴画出该平面直角坐标系 $x O y$ ；

⑵画出线段 $A B$ 关于原点 $O$ 成中心对称的线段 $A_{1} B_{1}$ ；

⑶画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 (x - 2) \leq x - 5 \\ \frac{3 x + 1}{2} ＞ x \end{array}$ ．

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19. 下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
$(\frac{x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{2}{x - 2}$

$= (\frac{x}{x^{2} - 4} - \frac{x - 2}{x^{2} - 4}) \cdot \frac{x - 2}{2} ⋯ ⋯$ 第一步

$= \frac{x - x - 2}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{2} ⋯ ⋯$ 第二步

$= \frac{- 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{2} ⋯ ⋯$ 第三步

$= - \frac{1}{x + 2} ⋯ ⋯$ 第四步

(1)、任务一：填空

①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是．

②第步开始出现错误，错误的原因是．

(2)、任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．

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20. 某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．

(1)、篮球和排球的单价各是多少元？

(2)、现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 中，AB $∥$ DC， $A B = B C$ ， $A D ⊥ D C$ 于点 $D$ ．

(1)、用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线，交 $C D$ 于点 $E$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A E$ ．求证：四边形 $A B C E$ 是菱形．

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22. 宁夏某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量（千克/棵）进行整理分析．下面给出了部分信息：

甲品种：2.0，3.2，3.1，3.2，3.1，2.5，3.2，3.6，3.8，3.9

乙品种：如图所示

	平均数	中位数	众数	方差
甲品种	3.16	$a$	3.2	0.29
乙品种	3.16	3.3	$b$	0.15

根据以上信息，完成下列问题：

(1)、填空：

a =

，

b =

；

(2)、若乙品种种植

300

棵，估计其产量不低于

3.16

千克的棵数；

(3)、请从某一个方面简要说明哪个品种更好．

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23. 如图，以线段 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交射线 $A C$ 于点 $C$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作直线 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ．连接 $B D$ 并延长交 $A C$ 于点 $M$ ．

(1)、求证：直线 $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A B = A M$ ；

(3)、若 $M E = 1$ ， $∠ F = 30 °$ ，求 $B F$ 的长．

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24. $2022$ 北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度 $O A$ 为4米，以起跳点正下方跳台底端 $O$ 为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点 $B$ 的坐标为 $(4 ， 12)$ ，着陆坡顶端 $C$ 与落地点 $D$ 的距离为2.5米，若斜坡 $C D$ 的坡度 $i = 3 ： 4$ （即 $\frac{C E}{D E} = \frac{3}{4}$ ）．求：

(1)、点 $A$ 的坐标；

(2)、该抛物线的函数表达式；

(3)、起跳点 $A$ 与着陆坡顶端 $C$ 之间的水平距离 $O C$ 的长．（精确到0.1米）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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25. 如图，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $C$ 、 $B$ 两点，与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0 ， x > 0)$ 的图象相交于点 $A$ ， $O B = 1$ ， $t a n ∠ O B C = 2$ ， $B C$ ： $C A = 1$ ： $2$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、点 $D$ 是线段 $A B$ 上任意一点，过点 $D$ 作 $y$ 轴平行线，交反比例函数的图象于点 $E$ ，连接 $B E ．$ 当 $△ B D E$ 面积最大时，求点 $D$ 的坐标．

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26. 综合与实践

(1)、知识再现
如图 $1$ ， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的正方形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ．当 $S_{1} = 36$ ， $S_{3} = 100$ 时， $S_{2} =$ ．

(2)、问题探究

如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．
如图 $2$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等腰直角三角形的面积为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 之间的数量关系是．

(3)、如图 $3$ ，分别以 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为边向外作的等边三角形的面积为 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ ，试猜想 $S_{4}$ 、 $S_{5}$ 、 $S_{6}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(4)、实践应用
如图4，将图 $3$ 中的 $△ B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转一定角度至 $△ B G H$ ， $△ A C E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定角度至 $△ A M N$ ， $G H$ 、 $M N$ 相交于点 $P$ ．求证： $S_{△ P H N} = S_{四边形 P M F G}$ ；

(5)、如图5，分别以图 $3$ 中 $R t △ A B C$ 的边 $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体， $B C$ 、 $C A$ 、 $A B$ 为直径的半圆柱的体积分别为 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 、 $V_{3}$ ．若 $A B = 4$ ，柱体的高 $h = 8$ ，直接写出 $V_{1} + V_{2}$ 的值．

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