湖北省黄石市2022年中考数学试卷

试卷更新日期：2022-09-14 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $1 - \sqrt{2}$ 的绝对值是（）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $\pm (\sqrt{2} - 1)$

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2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、温州博物馆 B、西藏博物馆 C、广东博物馆 D、湖北博物馆

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3. 由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{9} - a^{7} = a^{2}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(- 2 a^{2} b)}^{2} = 4 a^{4} b^{2}$

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5. 函数 $y = \frac{x}{\sqrt{x + 3}} + \frac{1}{x - 1}$ 的自变量x的取值范围是（）

A、 $x \neq - 3$ 且 $x \neq 1$ B、 $x > - 3$ 且 $x \neq 1$ C、 $x > - 3$ D、 $x \geq - 3$ 且 $x \neq 1$

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6. 我市某校开展共创文明班，一起向未来的古诗文朗诵比赛活动，有10位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前5位进入决赛．如果小王同学知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，他需要知道这10位同学成绩的（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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7. 如图，正方形 $O A B C$ 的边长为 $\sqrt{2}$ ，将正方形 $O A B C$ 绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点 $B_{1}$ 的坐标为（）

A、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ B、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ C、 $(0 ， \sqrt{2})$ D、 $(0 ， 2)$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线 $M N$ ，分别交线段 $B C$ ， $A C$ 于点D，E，若 $A E = 2 c m$ ， $△ A B D$ 的周长为11 $c m$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、13 $c m$ B、14 $c m$ C、15 $c m$ D、16 $c m$

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9. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长 $l_{6} = 6 R$ ，则 $π \approx \frac{l_{6}}{2 R} = 3$ ．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（）

A、 $12 s i n 15 °$ B、 $12 c o s 15 °$ C、 $12 s i n 30 °$ D、 $12 c o s 30 °$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，对称轴为直线 $x = - 1$ ，有以下结论：① $a b c < 0$ ；②若t为任意实数，则有 $a - b t \leq a t^{2} + b$ ；③当图象经过点 $(1 ， 3)$ 时，方程 $a x^{2} + b x + c - 3 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），则 $x_{1} + 3 x_{2} = 0$ ，其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 计算： $(- 2)^{2} - (2022 - \sqrt{3})^{0} =$ ．

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12. 分解因式：x³y﹣9xy= ．

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13. 据新华社2022年1月26日报道，2021年全年新增减税降费约1.1万亿元，有力支持国民经济持续稳定恢复用科学记数法表示1.1万亿元，可以表示为元．

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14. 如图，圆中扇子对应的圆心角 $α$ （ $α < 180 °$ ）与剩余圆心角 $β$ 的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则 $β - α$ 的度数是．

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15. 已知关于x的方程 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{x + a}{x (x + 1)}$ 的解为负数，则a的取值范围是．

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16. 某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为m．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果按四舍五八保留一位小数）

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17. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过矩形 $A B C D$ 对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上， $△ O C E$ 的面积为6，则 $k =$ ．

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三、解答题

18. 如图，等边 $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ，点E为高 $A D$ 上的一动点，以 $B E$ 为边作等边 $△ B E F$ ，连接 $D F$ ， $C F$ ，则 $∠ B C F =$ ， $F B + F D$ 的最小值为．

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19. 先化简，再求值： $(1 + \frac{2}{a + 1}) \div \frac{a^{2} + 6 a + 9}{a + 1}$ ，从-3，-1，2中选择合适的a的值代入求值．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，且点D在线段 $B C$ 上，连 $C E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ ；

(2)、若 $∠ E A C = 60 °$ ，求 $∠ C E D$ 的度数．

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21. 某中学为了解学生每学期诵读经典的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
等级
一般
较好
良好
优秀
阅读量/本
3
4
5
6
频数
12
a
14
4
频率
0.24
0.40
b
c
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次调查一共随机抽取了名学生；表中 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ．

(2)、求所抽查学生阅读量的众数和平均数．

(3)、样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率

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22. 阅读材料，解答问题：
材料1

为了解方程 ${(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ，如果我们把 $x^{2}$ 看作一个整体，然后设 $y = x^{2}$ ，则原方程可化为 $y^{2} - 13 y + 36 = 0$ ，经过运算，原方程的解为 $x_{1 ， 2} = \pm 2$ ， $x_{3 ， 4} = \pm 3$ ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2

已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，显然m，n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，由书达定理可知 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)、直接应用：
方程 $x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0$ 的解为；

(2)、间接应用：
已知实数a，b满足： $2 a^{4} - 7 a^{2} + 1 = 0$ ， $2 b^{4} - 7 b^{2} + 1 = 0$ 且 $a \neq b$ ，求 $a^{4} + b^{4}$ 的值；

(3)、拓展应用：
已知实数m，n满足： $\frac{1}{m^{4}} + \frac{1}{m^{2}} = 7$ ， $n^{2} - n = 7$ 且 $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m^{4}} + n^{2}$ 的值．

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23. 某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式： $y = {\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c (0 \leq x \leq 8) \\ 640 ， (8 < x \leq 10) \end{array} ，$ 数据如下表．
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8
$8 < x ⩽ 10$
累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640

(1)、求a，b，c的值；

(2)、如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；

(3)、在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

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24. 如图 $C D$ 是 $⊙ O$ 直径，A是 $⊙ O$ 上异于C，D的一点，点B是 $D C$ 延长线上一点，连接 $A B$ 、 $A C$ 、 $A D$ ，且 $∠ B A C = ∠ A D B$ ．

(1)、求证：直线 $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 2 O C$ ，求 $t a n ∠ A D B$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，作 $∠ C A D$ 的平分线 $A P$ 交 $⊙ O$ 于P，交 $C D$ 于E，连接 $P C$ 、 $P D$ ，若 $A B = 2 \sqrt{6}$ ，求 $A E \cdot A P$ 的值．

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25. 如图，抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x + 4$ 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．

(1)、A，B，C三点的坐标为，，；

(2)、连接 $A P$ ，交线段 $B C$ 于点D，
①当 $C P$ 与x轴平行时，求 $\frac{P D}{D A}$ 的值；

②当 $C P$ 与x轴不平行时，求 $\frac{P D}{D A}$ 的最大值；

(3)、连接 $C P$ ，是否存在点P，使得 $∠ B C O + 2 ∠ P C B = 90 °$ ，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

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等级	一般	较好	良好	优秀
阅读量/本	3	4	5	6
频数	12	a	14	4
频率	0.24	0.40	b	c

时间x（分钟）	0	1	2	3	…	8	$8 < x ⩽ 10$
累计人数y（人）	0	150	280	390	…	640	640