上海市浦东四署2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（　　）

A、△ABC放大后，∠B是原来的4倍 B、△ABC放大后，边AB是原来的4倍 C、△ABC放大后，周长是原来的4倍 D、△ABC放大后，面积是原来的16倍

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2. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $t a n A$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 都是非零向量，下列结论中不能判定 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ 的是（）

A、 $\vec{a}$ // $\vec{c}$ ， $\vec{b}$ // $\vec{c}$ B、 $\vec{a} = \frac{1}{2} \vec{c}, \vec{b} = 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} = 2 \vec{b}$ D、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$

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4. 在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且有 $\frac{A D}{D B}$ = $\frac{A E}{E C}$ = $\frac{1}{2}$ ， BC=18，那么DE的值为（　　）

A、3 B、6 C、9 D、12

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5. 下列说法中，错误的是（）

A、两个等边三角形的高的比等于它们的边长比 B、两个相似三角形的周长比是1：3，则它们的面积比是1：6 C、一条直线平行于三条角形一边，且将三角形分成面积相等的两部分，则直线截得的三角形面积与原三角形面积之比为1：2 D、相似三角形的周长比等于它们对应的角平分线的比

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6. 已知AE、CF是锐角 $△ A B C$ 的两条高，若 $\frac{A E}{C F} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{s i n ∠ B A C}{s i n ∠ A C B}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{9}{4}$

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二、填空题

7. 如果 $x ： y = 2 ： 5$ 、那么 $\frac{x - y}{x + y} =$ ．

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8. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝．

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9. 如图，已知l₁∥l₂∥l₃ ， CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝cm．

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10. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 都是锐角，如果 $s i n A = \frac{1}{2}$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，那么 $∠ C =$ ．

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11. 如图，点G是△ABC的重心，点E为BC上一点．如果GE//AC，那么BE：EC= ．

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12. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 和 $\vec{x}$ 满足关系式 $2 \vec{a} + 3 (\vec{b} - \vec{x}) = \vec{0}$ ，那么用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的线性组合表示向量 $\vec{x} =$ ．

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13. 在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边BC、AC的延长线上， $∠ E = ∠ B$ ， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ， $C E = 6$ ，那么 $C D =$ ．

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14. 在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（﹣1，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为

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15. 如图，梯形ABCD中， $A D / / B C$ ，对角线AC与BD相交于点O， $S_{△ A O D} = 9$ ， $S_{△ B O C} = 16$ ，则 $S_{梯形 A B C D} =$ ．

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16. 如图， $C D ⊥ D B$ ， $A B ⊥ D B$ ，且 $A B = 6$ ， $C D = 4$ ， $D B = 14$ ，点P是线段DB上一动点，当 $D P =$ 时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似．

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17. 如图，一张矩形纸片ABCD，点E在AB边上，把 $△ B C E$ 沿直线CE，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，若点E、F、D在同一直线上， $A E = 2$ ．则 $\frac{B E}{D F} =$ ．

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18. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 12$ ， $A C = 8$ ， $B D ： C D = 2 ： 1$ ， M是AD中点，过M的线段EF平分 $△ A B C$ 的周长，那么线段 BE的长是．

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt{c o s^{2} 30 ° - s i n^{2} 30 °} + \frac{s i n 60 °}{t a n 60 °}$ ．

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20. 如图，已知：点E、F分别是平行四边形ABCD的边CD、AD上的点，且 $\frac{A F}{F D} = \frac{D E}{C E} = 2$ ， BF、CD的延长线交于点G，设 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{B A} = \vec{b}$ ．

(1)、用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{B F}$ 、 $\vec{B G}$ ；

(2)、求作 $\vec{B E}$ 关于向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的分向量．

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21. 如图， $△ A B C$ 中有内接正方形DEFG，DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上， $A H ⊥ B C$ ，垂足为H，交GF于I．求证： $\frac{1}{A H} + \frac{1}{B C} = \frac{1}{G F}$ ．

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，延长斜边BC到点D，使 $C D = \frac{1}{2} B C$ ，联结AD，如果 $t a n B = \frac{4}{3}$ ，求 $t a n ∠ C A D$ 的值．

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23. 已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：

(1)、△ACE∽△BDE；

(2)、BE•DC=AB•DE．

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24. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中，BD平分 $∠ A B C$ ，点E为BD延长线上一点，且 $\frac{A B}{B C} = \frac{B E}{B D}$ ．

(1)、求证： $A E = A D$ ；

(2)、若点F为线段BD上一点， $C F = C D$ ， $B F = 2$ ， $B E = 6$ ， $△ B F C$ 的面积为3，求 $△ A B D$ 的面积．

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25. 已知，如图，在矩形ABCD中， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作 $Q F / / A C$ ，交BD与点F，设运动时间为 $t (s) (0 < t < 6)$ ．

(1)、当t为何值时， $△ A O P$ 是等腰三角形；

(2)、设五边形OECQF的面积为 $S (c m^{2})$ ，求S关于t的函数关系式；

(3)、在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分 $∠ C O P$ ?若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．

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