辽宁省葫芦岛市兴城市八校联考2021-2022学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2022-09-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 用配方法解方程 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ 时，原方程应变形为（　　）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 11$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 21$

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3. 向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax²+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）

A、第8秒 B、第10秒 C、第12秒 D、第15秒

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4. 若关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} + x + 1 = 0$ 有两个实数根，则k的取值范围是（）

A、 $k \leq \frac{5}{4}$ B、 $k ＞ \frac{5}{4}$ C、 $k ＜ \frac{5}{4} 且 k \neq 1$ D、 $k \leq \frac{5}{4} 且 k \neq 1$

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5. 杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为 $x$ ．则可列方程正确的是（）

A、 $5000 {(1 + x)}^{2} = 30000$ B、 $5000 (1 - x^{2}) = 30000$ C、 $5000 + 5000 (1 + x) + 5000 {(1 + x)}^{2} = 30000$ D、 $5000 (1 + x) + 5000 {(1 + x)}^{2} = 30000$

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6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为（）

A、80° B、60° C、65° D、70°

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7. 如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）

A、点M B、格点N C、格点P D、格点Q

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8. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，C ， D为 $⊙ O$ 上的两点，若 $∠ A B D ＝ 54 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $34 °$ B、 $36 °$ C、 $46 °$ D、 $54 °$

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9. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = m x + n$ 与 $y = m x^{2} - n x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝8，点P是AB边上直面的一个动点，过点P作PD⊥AB交直角边于点D，设AP为x，△APD的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 一元二次方程x²﹣5＝0的解是．

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12. 已知，点A（a﹣1，3）与点B（2，﹣2b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝.

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13. 如图，在长为20m，宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的 $\frac{3}{4}$ ，则道路的宽为米．

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14. 将抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点 $P (a ， 1)$ ，则 $2021 - a^{2} + 2 a =$ ．

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15. 如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与直线y＝k＋m交于A（﹣3，﹣1）、B（0，3）两点，则关于x的不等式ax²+bx+c＞kx+m的解集是．

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A在 $x$ 轴负半轴上，点B在 $y$ 轴正半轴上，⊙D经过A ， B ， O ， C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是

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17.
如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax²上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为．

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18. 如图，等边△ABC内有一点O，OA＝3，OB＝4，OC＝5，以点B为旋转中心将BO逆时针旋转60°得到线段 $B O^{'}$ ，连接 $A O^{'}$ ，下列结论：① $△ A B O^{'}$ 可以看成是△BOC绕点B逆时针旋转60°得到的；②点O与 $O^{'}$ 的距离为5；③∠AOB＝150°；④S_{四边形AOBO′}＝6+4 $\sqrt{2}$ ；⑤ $S_{△ A O C} + S_{△ A O B}$ ＝6+ $\frac{9}{4} \sqrt{3}$ ．其中正确的结论有．（填正确序号）

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、 $x (3 + x) = 2 (3 + x)$ ；

(2)、x²+2x-14=0．

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20. 如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

(1)、所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所用旧墙AD的长；

(2)、求矩形菜园ABCD面积的最大值．

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21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（﹣2，﹣2）．
⑴画出△ABC以y轴为对称轴的对称图形△A₁B₁C₁；
⑵以原点O为对称中心，画出△A₁B₁C₁关原点O对称的△A₂B₂C₂并写出点C₂的坐标；
⑶以 $C_{2}$ 为旋转中心，把△A₂B₂C₂顺时针旋转90°，得到△C₂A₃B₃ ．

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22. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．

(1)、求证：AB＝AC；

(2)、若BC＝5，CD＝3，求AB的长．

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23.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC.

(1)、若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；

(2)、求证：∠1=∠2.

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24. 2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．

(1)、求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

(2)、当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？

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25. 如图1，在等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A = 120^{\circ} ， A B = A C ，$ 点 $D 、 E$ 分别在边 $A B 、 A C$ 上， $A D = A E ，$ 连接 $B E ，$ 点 $M 、 N 、 P$ 分别为 $D E 、 B E 、 B C$ 的中点．

(1)、观察猜想
图1中，线段 $N M 、 N P$ 的数量关系是， $∠ M N P$ 的大小为；

(2)、探究证明
把 $△ A D E$ 绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $M P 、 B D 、 C E ，$ 判断 $△ M N P$ 的形状，并说明理由；

(3)、拓展延伸
把 $△ A D E$ 绕点A在平面内自由旋转，若 $A D = 1 ， A B = 3$ ，请求出 $△ M N P$ 面积的最大值．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 交x轴于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C ， AC ， BC ． M为线段OB上的一个动点，过点M作 $P M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点P ，交BC于点Q ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、过点P作 $P N ⊥ B C$ ，垂足为点N ．设M点的坐标为 $M (m ， 0)$ ，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

(3)、试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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